Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=\log _{3}\left(x^{2}-3 x\right)+\frac{5}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede que eu determine a expressão da derivada da função
y=\log_{3}\!\bigl(x^{2}-3x\bigr)+\frac{5}{x^{3}}.
Informações dadas e observações importantes:
  • A função é a soma de duas parcelas: \log_{3}\!\bigl(x^{2}-3x\bigr) e \dfrac{5}{x^{3}}.
  • Para que \log_{3}\!\bigl(x^{2}-3x\bigr) esteja definida, o argumento deve ser positivo, isto é \,x^{2}-3x>0. (Isto implica x<0 ou x>3.)
  • A segunda parcela \dfrac{5}{x^{3}} exige x\neq 0.
  • O objetivo é encontrar y', a derivada de y em termos de x.

Passo 2

Vou apresentar a regra para derivar um logaritmo de base qualquer e explicar por que ela vale. Se eu tiver uma função composta \log_{a}\bigl(u(x)\bigr), posso usar a relação de mudança de base:
\log_{a}\bigl(u(x)\bigr)=\frac{\ln\bigl(u(x)\bigr)}{\ln a},
onde \ln é o logaritmo natural e a>0,\;a\neq1. Aqui \ln a é uma constante (não depende de x). Derivando em relação a x e usando que a derivada de \ln(u(x)) é u'(x)/u(x) (regra da cadeia), obtemos a fórmula:
\frac{d}{dx}\log_{a}\bigl(u(x)\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln a}.
Explicando as variáveis: u(x) é a função interna (argumento do log), u'(x) é a derivada dessa função, e \ln a é o logaritmo natural da base do logaritmo (constante).

Passo 3

Explico a regra para derivar potências com expoente real e a regra do múltiplo constante. Se eu tenho k\cdot x^{n} com k constante e n real, então
\frac{d}{dx}\bigl(kx^{n}\bigr)=k\cdot n x^{n-1}.
No nosso caso, \dfrac{5}{x^{3}}=5x^{-3}. Aplicando a regra:
\frac{d}{dx}\bigl(5x^{-3}\bigr)=5\cdot(-3)x^{-4}=-15x^{-4}=-\frac{15}{x^{4}}.
Mostrei passo a passo: reescrevi como potência, apliquei n x^{n-1} e multipliquei pelo coeficiente 5.

Passo 4

Identifico a função interna do logaritmo e calculo sua derivada. Aqui tomo
u(x)=x^{2}-3x.
Derivando termo a termo (derivada de x^{2} é 2x; derivada de -3x é -3):
u'(x)=2x-3.

Passo 5

Agora aplico a fórmula do passo 2 à primeira parcela \log_{3}\!\bigl(x^{2}-3x\bigr). Pelo que aprendemos:
\frac{d}{dx}\log_{3}\!\bigl(x^{2}-3x\bigr)=\frac{u'(x)}{u(x)\,\ln 3}.
Substituindo u(x)=x^{2}-3x e u'(x)=2x-3 (do passo 4), obtenho
\frac{d}{dx}\log_{3}\!\bigl(x^{2}-3x\bigr)=\frac{2x-3}{\bigl(x^{2}-3x\bigr)\ln 3}.

Passo 6

Junto as derivadas das duas parcelas (soma pode ser derivada parcela a parcela). A derivada da segunda parcela eu calculei no passo 3 como -\dfrac{15}{x^{4}}. Portanto a derivada total é
y'=\frac{2x-3}{\bigl(x^{2}-3x\bigr)\ln 3}-\frac{15}{x^{4}}.
Lembre-se: essa expressão só vale para x no domínio da função original, ou seja x<0 ou x>3 (e, obviamente, x\neq0, que já está excluído pela condição anterior).

Resposta

y'=\frac{2x-3}{\bigl(x^{2}-3x\bigr)\ln 3}-\frac{15}{x^{4}}.

Exercícios relacionados