Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
Passo 1
O enunciado pede que eu determine a expressão da derivada da função
Informações dadas e observações importantes:
- A função é a soma de duas parcelas:
e . - Para que
esteja definida, o argumento deve ser positivo, isto é . (Isto implica ou .) - A segunda parcela
exige . - O objetivo é encontrar
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Vou apresentar a regra para derivar um logaritmo de base qualquer e explicar por que ela vale. Se eu tiver uma função composta
, posso usar a relação de mudança de base:
onde
é o logaritmo natural e
. Aqui
é uma constante (não depende de
). Derivando em relação a
e usando que a derivada de
é
(regra da cadeia), obtemos a fórmula:
Explicando as variáveis:
é a função interna (argumento do log),
é a derivada dessa função, e
é o logaritmo natural da base do logaritmo (constante).
Passo 3
Explico a regra para derivar potências com expoente real e a regra do múltiplo constante. Se eu tenho
com
constante e
real, então
No nosso caso,
. Aplicando a regra:
Mostrei passo a passo: reescrevi como potência, apliquei
e multipliquei pelo coeficiente
.
Passo 4
Identifico a função interna do logaritmo e calculo sua derivada. Aqui tomo
Derivando termo a termo (derivada de
é
; derivada de
é
):
Passo 5
Agora aplico a fórmula do passo 2 à primeira parcela
. Pelo que aprendemos:
Substituindo
e
(do passo 4), obtenho
Passo 6
Junto as derivadas das duas parcelas (soma pode ser derivada parcela a parcela). A derivada da segunda parcela eu calculei no passo 3 como
. Portanto a derivada total é
Lembre-se: essa expressão só vale para
no domínio da função original, ou seja
ou
(e, obviamente,
, que já está excluído pela condição anterior).