Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: "Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
".
Informações relevantes que o enunciado dá:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é
. - Não foram dadas outras condições, então vale observar o domínio natural dos logaritmos:
.
Observação importante (assunção que adotarei): vou interpretarcomo logaritmo natural e também interpretar como logaritmo na base . Quando aparecer sem base, por consistência com as outras notações usadas no enunciado eu assumirei que também representa o logaritmo natural (ou seja, ). Se você usa outra convenção na sua turma (por exemplo = log base ), o procedimento é o mesmo, mas a conta numérica final muda — eu vou resolver aqui com .
Passo 2
Revisão das regras que vamos usar (explicadas de forma bem didática):
- Derivada do logaritmo natural: a regra básica é
válida para
. Isso vem da definição do logaritmo e da derivada da função exponencial inversa.
- Derivada de uma soma e da multiplicação por constante: a derivada é linear, isto é, para constantes
e funções ,
Isto significa que podemos derivar termo a termo e puxar constantes para fora da derivada.
- Conversão de logaritmo em base
para logaritmo natural: para , ,
Dessa fórmula segue que
Vou usar essas regras passo a passo.
Passo 3
Aplicando a conversão para simplificar o termo
. Usando
, temos
Como
aparece no numerador e denominador, elas se cancelam:
Portanto a expressão original se simplifica para
Lembre que aqui estamos usando
pela nossa assunção; com essa igualdade podemos continuar a simplificação.
Passo 4
Substituindo
e combinando termos semelhantes:
Agora somamos os coeficientes de
. Os coeficientes são
,
e
. Vamos somá-los:
Logo
Essa simplificação deixa a derivação muito direta.
Passo 5
Agora derivamos a forma simplificada usando linearidade e a regra da derivada do
. Temos uma constante multiplicando
, então
Portanto
Passo 6
Interpretação e checagem rápida: a derivada
tem domínio
, que é compatível com o domínio da função original. Se alguém adotasse a convenção
(base
), a única diferença seria que o termo
daria derivada
em vez de
; nesse caso a derivada final seria
mas isso só vale se
for base
. Mantendo a nossa assunção (
), a resposta anterior é a correta.