Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
\mathrm{y}=2 \ln \mathrm{x}-(\log \mathrm{x}) / 2+\ln 5 \cdot \log _{5} \mathrm{x}

Passo 1

O enunciado pede: "Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções: \mathrm{y}=2 \ln \mathrm{x}-(\log \mathrm{x}) / 2+\ln 5 \cdot \log _{5} \mathrm{x}".
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é \displaystyle y=2\ln x-\frac{\log x}{2}+\ln 5\cdot\log_{5}x.
  • Não foram dadas outras condições, então vale observar o domínio natural dos logaritmos: \displaystyle x>0.
    Observação importante (assunção que adotarei): vou interpretar \ln x como logaritmo natural e também interpretar \log_{5}x como logaritmo na base 5. Quando aparecer \log x sem base, por consistência com as outras notações usadas no enunciado eu assumirei que \log x também representa o logaritmo natural (ou seja, \log x=\ln x). Se você usa outra convenção na sua turma (por exemplo \log x = log base 10), o procedimento é o mesmo, mas a conta numérica final muda — eu vou resolver aqui com \log x=\ln x.

Passo 2

Revisão das regras que vamos usar (explicadas de forma bem didática):
  • Derivada do logaritmo natural: a regra básica é
\frac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\frac{1}{x},
válida para \displaystyle x>0. Isso vem da definição do logaritmo e da derivada da função exponencial inversa.
  • Derivada de uma soma e da multiplicação por constante: a derivada é linear, isto é, para constantes a,b e funções u(x),v(x),
\frac{d}{dx}\big(a\,u(x)+b\,v(x)\big)=a\,u'(x)+b\,v'(x).
Isto significa que podemos derivar termo a termo e puxar constantes para fora da derivada.
  • Conversão de logaritmo em base a para logaritmo natural: para a>0, a\ne1,
\log_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}.
Dessa fórmula segue que
\frac{d}{dx}\big(\log_{a}x\big)=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)=\frac{1}{\ln a}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x\ln a}.
Vou usar essas regras passo a passo.

Passo 3

Aplicando a conversão para simplificar o termo \ln 5\cdot\log_{5}x. Usando \log_{5}x=\dfrac{\ln x}{\ln 5}, temos
\ln 5\cdot\log_{5}x=\ln 5\cdot\frac{\ln x}{\ln 5}.
Como \ln 5 aparece no numerador e denominador, elas se cancelam:
\ln 5\cdot\log_{5}x=\ln x.
Portanto a expressão original se simplifica para
y=2\ln x-\frac{\log x}{2}+\ln x.
Lembre que aqui estamos usando \log x=\ln x pela nossa assunção; com essa igualdade podemos continuar a simplificação.

Passo 4

Substituindo \log x=\ln x e combinando termos semelhantes:
y=2\ln x-\frac{\ln x}{2}+\ln x.
Agora somamos os coeficientes de \ln x. Os coeficientes são 2, -\tfrac{1}{2} e 1. Vamos somá-los:
2 + 1 = 3,\qquad 3 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{6}{2}-\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{2}.
Logo
y=\frac{5}{2}\,\ln x.
Essa simplificação deixa a derivação muito direta.

Passo 5

Agora derivamos a forma simplificada usando linearidade e a regra da derivada do \ln. Temos uma constante multiplicando \ln x, então
\frac{dy}{dx}=\frac{5}{2}\cdot\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{5}{2}\cdot\frac{1}{x}.
Portanto
\frac{dy}{dx}=\frac{5}{2x}.

Passo 6

Interpretação e checagem rápida: a derivada \dfrac{5}{2x} tem domínio \displaystyle x>0, que é compatível com o domínio da função original. Se alguém adotasse a convenção \log x=\log_{10}x (base 10), a única diferença seria que o termo -\dfrac{\log x}{2} daria derivada -\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x\ln 10} em vez de -\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x}; nesse caso a derivada final seria
\frac{dy}{dx}= \frac{3}{x}-\frac{1}{2x\ln 10},
mas isso só vale se \log x for base 10. Mantendo a nossa assunção ( \log x=\ln x), a resposta anterior é a correta.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{5}{2x}

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