Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
f(x)=\operatorname{sen} x \cdot \cos x+x \cdot \operatorname{cosec} x

Passo 1

O enunciado pede: determinar a expressão da derivada da função
f(x)=\operatorname{sen} x \cdot \cos x + x \cdot \operatorname{cosec} x.
Informações dadas e o que se pede:
\text{Dado: } f(x)=\operatorname{sen} x\cos x + x\operatorname{cosec} x.
\text{Pedir: } f'(x),\\ \text{ou seja, a expressão da derivada de } f(x).ã

Passo 2

Regras que vamos usar (explicadas de forma didática):
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
(u\cdot v)' = u'\cdot v + u\cdot v'.
Aqui u' significa a derivada de u em relação a x.
  • Derivadas básicas de funções trigonométricas (essas são fatos que você deve lembrar ou decorar):
(\operatorname{sen} x)' = \cos x,
(\cos x)' = -\operatorname{sen} x.
  • Derivada de função recíproca: se g(x)=\dfrac{1}{h(x)}, então
g'(x) = -\dfrac{h'(x)}{[h(x)]^{2}}.
Vamos aplicar isso para \operatorname{cosec} x = \dfrac{1}{\operatorname{sen} x}.

Passo 3

Derivada do primeiro termo \operatorname{sen} x \cdot \cos x.
Identificamos u(x)=\operatorname{sen} x e v(x)=\cos x.
Calculamos as derivadas das partes:
u'(x)=(\operatorname{sen} x)'=\cos x,
v'(x)=(\cos x)'=-\operatorname{sen} x.

Passo 4

Aplicando a regra do produto ao primeiro termo:
(\operatorname{sen} x\cdot \cos x)' = u'v + uv' = \cos x\cdot \cos x + \operatorname{sen} x\cdot(-\operatorname{sen} x).
Simplificando:
(\operatorname{sen} x\cdot \cos x)' = \cos^{2}x - \operatorname{sen}^{2}x.
Observação útil (identidade trigonométrica): \cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x=\cos 2x. Então podemos reescrever esse pedaço também como \cos 2x se quisermos.

Passo 5

Derivada do segundo termo x\cdot \operatorname{cosec} x.
Identificamos u(x)=x e v(x)=\operatorname{cosec} x.
Temos u'(x)=1. Resta achar v'(x), ou seja, a derivada de \operatorname{cosec} x.

Passo 6

Derivada de \operatorname{cosec} x usando a definição como recíproca:
\operatorname{cosec} x = \frac{1}{\operatorname{sen} x}.
Usando a regra da recíproca (ou quociente com numerador constante 1):
(\operatorname{cosec} x)' = -\frac{(\operatorname{sen} x)'}{[\operatorname{sen} x]^{2}} = -\frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}.
Agora escrevemos isso em termos de \operatorname{cotg} e \operatorname{cosec}. Lembrando as definições
\operatorname{cotg} x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x},\qquad \operatorname{cosec} x = \frac{1}{\operatorname{sen} x},
temos
-\frac{\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x} = -\left(\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}\right)\left(\frac{1}{\operatorname{sen} x}\right) = -\operatorname{cotg} x\cdot \operatorname{cosec} x.
Portanto
(\operatorname{cosec} x)' = -\operatorname{cosec} x\cdot \operatorname{cotg} x.

Passo 7

Agora aplicamos a regra do produto ao termo x\cdot \operatorname{cosec} x:
(x\cdot \operatorname{cosec} x)' = x'\cdot \operatorname{cosec} x + x\cdot (\operatorname{cosec} x)'.
Substituindo x'=1 e (\operatorname{cosec} x)'=-\operatorname{cosec} x\operatorname{cotg} x, obtemos
(x\cdot \operatorname{cosec} x)' = \operatorname{cosec} x + x\cdot \big(-\operatorname{cosec} x\operatorname{cotg} x\big).
Simplificando:
(x\cdot \operatorname{cosec} x)' = \operatorname{cosec} x - x\,\operatorname{cosec} x\operatorname{cotg} x.

Passo 8

Somamos as derivadas dos dois termos para obter f'(x):
f'(x) = (\operatorname{sen} x\cos x)' + (x\operatorname{cosec} x)'.
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
f'(x) = \big(\cos^{2}x - \operatorname{sen}^{2}x\big) + \big(\operatorname{cosec} x - x\,\operatorname{cosec} x\operatorname{cotg} x\big).
Juntando:
f'(x) = \cos^{2}x - \operatorname{sen}^{2}x + \operatorname{cosec} x - x\,\operatorname{cosec} x\operatorname{cotg} x.
Opcionalmente, usando \cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x=\cos 2x, uma forma mais compacta é
f'(x)=\cos 2x + \operatorname{cosec} x - x\,\operatorname{cosec} x\operatorname{cotg} x.

Resposta

f'(x)=\cos^{2}x - \operatorname{sen}^{2}x + \operatorname{cosec} x - x\,\operatorname{cosec} x\operatorname{cotg} x
\text{(forma alternativa)}\quad f'(x)=\cos 2x + \operatorname{cosec} x - x\,\operatorname{cosec} x\operatorname{cotg} x

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