Usando as regras de derivação, determine a expressão da derivada de cada uma das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede: determinar a expressão da derivada da função
Informações dadas e o que se pede:
Passo 2
Regras que vamos usar (explicadas de forma didática):
- Regra do produto: se
e são funções, então
Aqui
significa a derivada de
em relação a
.
- Derivadas básicas de funções trigonométricas (essas são fatos que você deve lembrar ou decorar):
- Derivada de função recíproca: se
, então
Vamos aplicar isso para
.
Passo 3
Derivada do primeiro termo
.
Identificamos e
.
Calculamos as derivadas das partes:
Identificamos
Calculamos as derivadas das partes:
Passo 4
Aplicando a regra do produto ao primeiro termo:
Simplificando:
Observação útil (identidade trigonométrica):
. Então podemos reescrever esse pedaço também como
se quisermos.
Passo 5
Derivada do segundo termo
.
Identificamos e
.
Temos . Resta achar
, ou seja, a derivada de
.
Identificamos
Temos
Passo 6
Derivada de
usando a definição como recíproca:
Usando a regra da recíproca (ou quociente com numerador constante 1):
Agora escrevemos isso em termos de
e
. Lembrando as definições
temos
Portanto
Passo 7
Agora aplicamos a regra do produto ao termo
:
Substituindo
e
, obtemos
Simplificando:
Passo 8
Somamos as derivadas dos dois termos para obter
:
Substituindo os resultados dos passos anteriores:
Juntando:
Opcionalmente, usando
, uma forma mais compacta é