Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=\left(\frac{x^{2}+3 x}{x+1}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função
y=\left(\frac{x^{2}+3x}{x+1}\right)^{3}
e pede que eu determine a expressão da derivada y'.
Informações relevantes: a função é uma potência de uma função racional (uma “função dentro de outra”). Não preciso de valores numéricos adicionais — só a fórmula simbólica de y'.

Passo 2

Vou identificar a estrutura da função para aplicar regras de derivação de forma organizada. Chamo de u(x) a parte interna (a “função dentro”):
u(x)=\frac{x^{2}+3x}{x+1}.
Então posso escrever y como composição
y = [u(x)]^{3}.
Agora uso a regra da cadeia: se y=f(u(x)) com f(t)=t^{3}, então
\frac{dy}{dx}=f'(u(x))\cdot u'(x).
Como f(t)=t^{3}, sua derivada é f'(t)=3t^{2}. Substituindo t=u(x) obtém-se
\frac{dy}{dx}=3[u(x)]^{2}\cdot u'(x).
Resumo do que falta: calcular u'(x) e substituir aqui.

Passo 3

Agora calculo u'(x). Como u(x) é uma razão de duas funções, uso a regra do quociente. Se
u(x)=\frac{p(x)}{q(x)}
então
u'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{[q(x)]^{2}}.
Aqui tomo
p(x)=x^{2}+3x,\qquad q(x)=x+1.
Calculo as derivadas de p e q:
p'(x)=2x+3,\qquad q'(x)=1.
Agora aplico a fórmula do quociente:
u'(x)=\frac{(2x+3)(x+1)-(x^{2}+3x)\cdot 1}{(x+1)^{2}}.

Passo 4

Vamos simplificar o numerador de u'(x) passo a passo. Primeiro expandir (2x+3)(x+1):
(2x+3)(x+1)=2x^{2}+2x+3x+3=2x^{2}+5x+3.
Subtrai-se (x^{2}+3x):
2x^{2}+5x+3-(x^{2}+3x)=\bigl(2x^{2}-x^{2}\bigr)+\bigl(5x-3x\bigr)+3=x^{2}+2x+3.
Logo
u'(x)=\frac{x^{2}+2x+3}{(x+1)^{2}}.

Passo 5

Volto à regra da cadeia, substituindo u(x) e u'(x) na fórmula de \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=3\biggl(\frac{x^{2}+3x}{x+1}\biggr)^{2}\cdot\frac{x^{2}+2x+3}{(x+1)^{2}}.
Agora simplifico a expressão combinando potências de denominador. Observe que
\biggl(\frac{x^{2}+3x}{x+1}\biggr)^{2}=\frac{(x^{2}+3x)^{2}}{(x+1)^{2}}.
Multiplicando por \dfrac{x^{2}+2x+3}{(x+1)^{2}} dá um denominador total (x+1)^{4}. Assim
\frac{dy}{dx}=3\cdot\frac{(x^{2}+3x)^{2}}{(x+1)^{2}}\cdot\frac{x^{2}+2x+3}{(x+1)^{2}} = \frac{3\,(x^{2}+3x)^{2}\,(x^{2}+2x+3)}{(x+1)^{4}}.

Passo 6

Se quiser, posso fatorar x^{2}+3x como x(x+3), ficando
\frac{dy}{dx}=\frac{3\,x^{2}(x+3)^{2}(x^{2}+2x+3)}{(x+1)^{4}},
mas a forma anterior já é uma boa expressão simplificada da derivada.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{3\,(x^{2}+3x)^{2}\,(x^{2}+2x+3)}{(x+1)^{4}}

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