Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que eu determine a expressão da derivada
.
Informações relevantes: a função é uma potência de uma função racional (uma “função dentro de outra”). Não preciso de valores numéricos adicionais — só a fórmula simbólica de .
Informações relevantes: a função é uma potência de uma função racional (uma “função dentro de outra”). Não preciso de valores numéricos adicionais — só a fórmula simbólica de
Passo 2
Vou identificar a estrutura da função para aplicar regras de derivação de forma organizada. Chamo de
a parte interna (a “função dentro”):
Então posso escrever
como composição
Agora uso a regra da cadeia: se
com
, então
Como
, sua derivada é
. Substituindo
obtém-se
Resumo do que falta: calcular
e substituir aqui.
Passo 3
Agora calculo
. Como
é uma razão de duas funções, uso a regra do quociente. Se
então
Aqui tomo
Calculo as derivadas de
e
:
Agora aplico a fórmula do quociente:
Passo 4
Vamos simplificar o numerador de
passo a passo. Primeiro expandir
:
Subtrai-se
:
Logo
Passo 5
Volto à regra da cadeia, substituindo
e
na fórmula de
:
Agora simplifico a expressão combinando potências de denominador. Observe que
Multiplicando por
dá um denominador total
. Assim
Passo 6
Se quiser, posso fatorar
como
, ficando
mas a forma anterior já é uma boa expressão simplificada da derivada.