Determine a expressão da derivada indicada, e o seu valor no ponto dado:
no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas: (1) a expressão da derivada
e (2) o valor dessa derivada no ponto
.
Informações relevantes: a base da exponencial é ; os expoentes são
e
.
Informações relevantes: a base da exponencial é
Passo 2
Vamos recordar duas coisas fundamentais que vou usar (explicadinhas como se eu estivesse ao seu lado na prova):
- Derivada de uma exponencial de base
com expoente dependente de : se temos , então a derivada é
Explicando:
varia com
por causa de
; a constante
aparece porque a taxa de variação da função exponencial depende da base
. Aqui
é o logaritmo natural.
- Regra da cadeia (chain rule): quando uma função é composta, como
, a derivada é a derivada da função externa avaliada na interna vezes a derivada da interna. No item 1 isso já está embutido: multiplicamos por .
Passo 3
Identifico as “internas” das duas parcelas:
Agora calculemos as derivadas das internas (isto é simples):
Passo 4
Aplico a fórmula da derivada da exponencial a cada parcela:
Para a primeira parcela
:
Para a segunda parcela
:
Cada passo aqui é só aplicar a fórmula da Passo 2 com
que encontramos no Passo 3.
Passo 5
Somando as derivadas das duas parcelas (porque a derivada de soma é soma das derivadas), obtemos:
Posso fatorar
para deixar mais compacto:
Passo 6
Agora calculo o valor em
. Primeiro avalio as potências:
Substituindo em
: