Determine a expressão da derivada indicada, e o seu valor no ponto dado:
f(x)=2^{3 x}+2^{-3 x}, f^{\prime}(x) no ponto x_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=2^{3x}+2^{-3x}
e pede duas coisas: (1) a expressão da derivada f'(x) e (2) o valor dessa derivada no ponto x_{0}=0.
Informações relevantes: a base da exponencial é 2; os expoentes são 3x e -3x.

Passo 2

Vamos recordar duas coisas fundamentais que vou usar (explicadinhas como se eu estivesse ao seu lado na prova):
  1. Derivada de uma exponencial de base a>0 com expoente dependente de x: se temos \,g(x)=a^{u(x)}, então a derivada é
\frac{d}{dx}a^{u(x)}=a^{u(x)}\cdot\ln(a)\cdot u'(x).
Explicando: a^{u(x)} varia com x por causa de u(x); a constante \ln(a) aparece porque a taxa de variação da função exponencial depende da base a. Aqui \ln é o logaritmo natural.
  1. Regra da cadeia (chain rule): quando uma função é composta, como a^{u(x)}, a derivada é a derivada da função externa avaliada na interna vezes a derivada da interna. No item 1 isso já está embutido: multiplicamos por u'(x).

Passo 3

Identifico as “internas” das duas parcelas:
u_1(x)=3x,\qquad u_2(x)=-3x.
Agora calculemos as derivadas das internas (isto é simples):
u_1'(x)=3,\qquad u_2'(x)=-3.

Passo 4

Aplico a fórmula da derivada da exponencial a cada parcela:
Para a primeira parcela 2^{3x}:
\frac{d}{dx}2^{3x}=2^{3x}\cdot\ln(2)\cdot 3 = 3\ln(2)\,2^{3x}.
Para a segunda parcela 2^{-3x}:
\frac{d}{dx}2^{-3x}=2^{-3x}\cdot\ln(2)\cdot(-3) = -3\ln(2)\,2^{-3x}.
Cada passo aqui é só aplicar a fórmula da Passo 2 com u'(x) que encontramos no Passo 3.

Passo 5

Somando as derivadas das duas parcelas (porque a derivada de soma é soma das derivadas), obtemos:
f'(x)=3\ln(2)\,2^{3x}-3\ln(2)\,2^{-3x}.
Posso fatorar 3\ln(2) para deixar mais compacto:
f'(x)=3\ln(2)\bigl(2^{3x}-2^{-3x}\bigr).

Passo 6

Agora calculo o valor em x_{0}=0. Primeiro avalio as potências:
2^{3\cdot 0}=2^{0}=1,\qquad 2^{-3\cdot 0}=2^{0}=1.
Substituindo em f'(x):
f'(0)=3\ln(2)\bigl(1-1\bigr)=3\ln(2)\cdot 0 = 0.

Resposta

f'(x)=3\ln(2)\bigl(2^{3x}-2^{-3x}\bigr)
f'(0)=0

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