Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
Passo 1
O enunciado pede para determinar a derivada da função
Informações dadas:
Queremos encontrar
, a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Escolha do método: vou reescrever a função como um produto para usar a regra do produto e a regra da potência, que são ferramentas bem diretas e fáceis de aplicar sem muita bagunça algébrica. Reescrevo
Essa forma transforma um quociente em produto, e aí uso a regra do produto + regra da cadeia/potência para derivar. É um método simples e rápido na prova.
Passo 3
Relembrando as regras que vou usar (com explicação):
- Regra do produto: se
com e , então
Aqui
é a derivada de
em relação a
e
é a derivada de
em relação a
.
- Regra da potência (caso simples): se
com constante, então pela regra da cadeia
No nosso caso
e
, o que simplifica bastante.
Passo 4
Identifico as partes do produto:
Calculo
e
:
- Derivada de
: usando a regra para soma e potência,
Expliquei:
e
.
- Derivada de
: aplico a regra da potência com e ,
Expliquei: a derivada de
é
.
Passo 5
Agora aplico a regra do produto:
Substituindo as expressões encontradas,
Para simplificar, fatoro o menor expoente comum
:
Passo 6
Faço as contas dentro dos colchetes passo a passo:
- Primeiro desenvolvo
:
- Subtraio
:
Portanto os colchetes valem
, que podemos escrever como
. Assim
Passo 7
Reescrevendo em forma de fração com potências positivas no denominador (forma usual),
Dica rápida para a prova: se preferir, pode também escrever
; ambas são equivalentes. Força aí — você conseguiu chegar até aqui!