Determine a expressão da derivada para cada uma das funções seguintes:
y=\frac{x^{2}-3 x}{(x-2)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a derivada da função
y=\frac{x^{2}-3x}{(x-2)^{2}}.
Informações dadas:
\text{função } y \text{ definida por } y=\frac{x^{2}-3x}{(x-2)^{2}}.çã
Queremos encontrar y', a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Escolha do método: vou reescrever a função como um produto para usar a regra do produto e a regra da potência, que são ferramentas bem diretas e fáceis de aplicar sem muita bagunça algébrica. Reescrevo
y=(x^{2}-3x)\,(x-2)^{-2}.
Essa forma transforma um quociente em produto, e aí uso a regra do produto + regra da cadeia/potência para derivar. É um método simples e rápido na prova.

Passo 3

Relembrando as regras que vou usar (com explicação):
  • Regra do produto: se y=u\cdot v com u=u(x) e v=v(x), então
y'=u'\,v+u\,v'.
Aqui u' é a derivada de u em relação a x e v' é a derivada de v em relação a x.
  • Regra da potência (caso simples): se w(x)=(g(x))^{n} com n constante, então pela regra da cadeia
w'=n\,(g(x))^{n-1}\cdot g'(x).
No nosso caso g(x)=x-2 e g'(x)=1, o que simplifica bastante.

Passo 4

Identifico as partes do produto:
u(x)=x^{2}-3x,\qquad v(x)=(x-2)^{-2}.
Calculo u' e v':
  • Derivada de u: usando a regra para soma e potência,
u'(x)=(x^{2})'-(3x)'=2x-3.
Expliquei: (x^{2})'=2x e (3x)'=3.
  • Derivada de v: aplico a regra da potência com n=-2 e g(x)=x-2,
v'(x)=-2\,(x-2)^{-3}\cdot (x-2)'=-2\,(x-2)^{-3}\cdot 1=-2\,(x-2)^{-3}.
Expliquei: a derivada de x-2 é 1.

Passo 5

Agora aplico a regra do produto:
y'=u'v+uv'.
Substituindo as expressões encontradas,
y'=(2x-3)\,(x-2)^{-2}+(x^{2}-3x)\,\big(-2(x-2)^{-3}\big).
Para simplificar, fatoro o menor expoente comum (x-2)^{-3}:
y'=(x-2)^{-3}\Big[(2x-3)(x-2)-2(x^{2}-3x)\Big].

Passo 6

Faço as contas dentro dos colchetes passo a passo:
  • Primeiro desenvolvo (2x-3)(x-2):
(2x-3)(x-2)=2x\cdot x +2x\cdot(-2)-3\cdot x -3\cdot(-2)=2x^{2}-4x-3x+6=2x^{2}-7x+6.
  • Subtraio 2(x^{2}-3x)=2x^{2}-6x:
(2x^{2}-7x+6)-\big(2x^{2}-6x\big)=-7x+6+6x=-x+6.
Portanto os colchetes valem -x+6, que podemos escrever como 6-x. Assim
y'=(x-2)^{-3}\,(6-x).

Passo 7

Reescrevendo em forma de fração com potências positivas no denominador (forma usual),
y'=\frac{6-x}{(x-2)^{3}}.
Dica rápida para a prova: se preferir, pode também escrever y'=-\dfrac{x-6}{(x-2)^{3}}; ambas são equivalentes. Força aí — você conseguiu chegar até aqui!

Resposta

y'=\frac{6-x}{(x-2)^{3}}

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