Determine a expressão no domínio do tempo correspondente a cada fasor:
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. A gente tem um fasor $ V = \left(20 + j80 -30 \angle 15^{\circ}\right) $ V e precisa transformar isso em uma expressão no domínio do tempo. Isso envolve conceitos de fasores, números complexos e como converter essas representações para funções de tempo, tipo senos ou cossenos. Vamos precisar usar a matemática dos números complexos e as fórmulas de conversão de fasores para sinais no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender cada parte do fasor. Temos três termos:
- $ 20 $ V – esse é um valor real.
- $ j80 $ V – esse é um valor imaginário, onde $ j $ representa a unidade imaginária.
- $ -30 \angle 15^{\circ} $ V – esse é um fasor em forma polar, com magnitude 30 V e ângulo de 15 graus, mas negativo.
Passo 3
Vamos começar convertendo o terceiro termo, $ -30 \angle 15^{\circ} $ V, para a forma retangular (ou cartesiana), que é $ a + jb $.
Primeiro, note que um fasor negativo pode ser reescrito adicionando 180° ao ângulo:
Agora, convertemos para a forma retangular usando as fórmulas:
Calculando:
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos somar todos os termos do fasor original na forma retangular:
Somando as partes reais e as partes imaginárias separadamente:
Parte real:
Parte imaginária:
Então, o fasor total na forma retangular é:
Passo 5
Para encontrar a expressão no domínio do tempo, precisamos converter o fasor resultante de volta para a forma polar e depois para uma função de cosseno no tempo.
Primeiro, calculamos a magnitude $ V_m $:
Agora, calculamos o ângulo $ \phi $:
Como a parte real é negativa e a imaginária é positiva, o ângulo está no segundo quadrante:
Passo 6
Finalmente, a expressão no domínio do tempo para o fasor $ V $ é dada por:
Resposta
A expressão no domínio do tempo correspondente ao fasor dado é: