Determine a expressão da função y=y(t) que satisfaz as seguintes condições:
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=\cos x+\operatorname{sec} ^{2} x \\\ y(0)=5 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece a equação
y'=\cos x + \operatorname{sec}^{2}x
com a condição inicial y(0)=5. Aqui y' é a derivada de y em relação a x. Para encontrar y(x), vamos integrar o lado direito em relação a x e depois usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Integramos cada termo separadamente:
\int \cos x\,dx = \sin x + C_{1}

Passo 3

E
\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x + C_{2}

Passo 4

Somando as integrais e agrupando as constantes num único C, obtemos
y(x)=\sin x + \tan x + C.
Agora aplicamos a condição y(0)=5:
y(0)=\sin 0 + \tan 0 + C = 0 + 0 + C = C = 5.

Resposta

y(x)=\sin x + \tan x + 5.

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