Encontre a primitiva das funções:
f(x)=\frac{2}{x}+7 \operatorname{cossec} x \cdot \operatorname{tg} x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva (ou integral indefinida) de
f(x) = \frac{2}{x} + 7\,\csc x \cdot \tan x.
O conteúdo necessário é a linearidade da integral, a primitiva de 1/x e a primitiva de \operatorname{sec} x.

Passo 2

Separe a integral em duas partes usando a propriedade
\int \bigl(g(x)+h(x)\bigr)\,\mathrm{d}x = \int g(x)\,\mathrm{d}x + \int h(x)\,\mathrm{d}x.
Logo,
\int f(x)\,\mathrm{d}x = \int \frac{2}{x}\,\mathrm{d}x \;+\;7\int \csc x\,\tan x\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Calcule a primeira integral. Como
\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = \ln\lvert x\rvert,
temos
\int \frac{2}{x}\,\mathrm{d}x = 2\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x = 2\,\ln\lvert x\rvert.

Passo 4

Para a segunda integral, observe que
\csc x\,\tan x = \frac{1}{\sin x}\,\frac{\sin x}{\cos x} = \frac{1}{\cos x} = \operatorname{sec} x.
E é sabido que
\int \operatorname{sec} x\,\mathrm{d}x = \ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr|.
Logo,
\int \csc x\,\tan x\,\mathrm{d}x = \int \operatorname{sec} x\,\mathrm{d}x = \ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr|.

Passo 5

Reunindo tudo e lembrando do fator 7:
\int f(x)\,\mathrm{d}x = 2\,\ln\lvert x\rvert + 7\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.

Resposta

F(x) = 2\,\ln\lvert x\rvert + 7\,\ln\bigl|\operatorname{sec} x + \tan x\bigr| + C.

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