Suponha que a função
seja derivável em
. Mostre que a função alterada a partir de
substituindo a variável
por
, onde
é um número real qualquer a saber,
-, é derivável em
, e sua derivada é
. E se a alteração for da forma
, qual é a derivada em
?
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é derivável em
, então a função
também é derivável em
e que sua derivada é
. Depois, pede ainda a derivada de
em
. O conteúdo aqui é a definição de derivada e a aplicação da regra da cadeia em casos elementares.
Passo 2
Vamos derivar
em
pela definição:
Substituindo
:
Defina
, então
e quando
temos
. Logo:
Isso prova que
é derivável e dá sua derivada.
Passo 3
Agora derivamos
em
pela definição:
Note que
Chame isso de
, ou seja
. Então:
Tomando o limite:
Resposta
Para g(x)=f(a x) temos g’(x_{0})=a,f’(a x_{0}). Para g(x)=f(x^{2}) temos g’(x_{0})=2x_{0},f’(x_{0}^{2}).