Suponha que a função f(x) seja derivável em x0. Mostre que a função alterada a partir de f substituindo a variável x por a x, onde a é um número real qualquer a saber, g(x)=f(a x)-, é derivável em x0, e sua derivada é a cdot f^prime(a x0). E se a alteração for da forma g(x)=f(x^2), qual é a derivada em x0 ?

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f(x) é derivável em x0, então a função g(x)=f(a x) também é derivável em x0 e que sua derivada é a,f'(a x0). Depois, pede ainda a derivada de g(x)=f(x^2) em x0. O conteúdo aqui é a definição de derivada e a aplicação da regra da cadeia em casos elementares.

Passo 2

Vamos derivar g(x)=f(a x) em x0 pela definição:
g'(x0)=limhto0g(x0+h)-g(x0)h
Substituindo g:
fl(a(x0+h)r)-f(a x0)h
Defina k=a h, então h=k/a e quando hto0 temos kto0. Logo:
g'(x0)=limkto0f(a x0+k)-f(a x0)k/a =alimkto0f(a x0+k)-f(a x0)k=a,f'(a x0)
Isso prova que g é derivável e dá sua derivada.

Passo 3

Agora derivamos g(x)=f(x^2) em x0 pela definição:
g'(x0)=limhto0fl((x0+h)^2r)-f(x0^2)h
Note que
(x0+h)^2-x0^2=2x0h+h^2=h,(2x0+h)
Chame isso de k=(x0+h)^2-x0^2, ou seja k=h(2x0+h). Então:
f(x0^2+k)-f(x0^2)h=f(x0^2+k)-f(x0^2)k,(2x0+h)
Tomando o limite:
g'(x0)=limhto0(2x0+h)f(x0^2+k)-f(x0^2)k=2x0,f'(x0^2)

Resposta

Para g(x)=f(a x) temos g’(x_{0})=a,f’(a x_{0}). Para g(x)=f(x^{2}) temos g’(x_{0})=2x_{0},f’(x_{0}^{2}).

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