Resolva o Problema de Valor Inicial.
y^prime prime-2 y^prime-24 y=0 ; y(0)=0 ; y^prime(0)=20

Passo 1

O enunciado dá um Problema de Valor Inicial para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
A equação é
y''-2y'-24y=0
com condições y(0)=0 e y'(0)=20. Precisamos usar o método da equação característica para encontrar a solução que satisfaz essas condições.

Passo 2

Para resolver a EDO, escrevemos a equação característica associada, trocando y''to r^2, y'to r e yto1:
r^2-2r-24=0
Resolvendo essa equação de segundo grau:
r=2pmraiz(-2)^2-4cdot1cdot(-24)2=2pm102
Logo as raízes são r1=6 e r2=-4.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é dada por
y(x)=C1e^6x+C2e^-4x
Para aplicar as condições iniciais, precisamos também da derivada:
y'(x)=6C1e^6x-4C2e^-4x

Passo 4

Agora usamos as condições iniciais:
Para x=0:
y(0)=C1+C2=0implies C2=-C1
y'(0)=6C1-4C2=20
Substituindo C2=-C1:
6C1-4(-C1)=10C1=20implies C1=2,,;C2=-2

Resposta

y(x)=2e^6x-2e^-4x

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