Determine a expressão da integral que permite calcular o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada pelas curvas dadas ao redor das retas especificadas.
y=0, y=sen(x), 0 <= x <= pi ao redor do eixo de y=1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por
y=0, y=sin(x), 0<= x<=pi
ao redor da reta y=1.
O conteúdo aqui é o método dos discos anelares (washers): num fatiamento vertical, para cada x temos um anel de raio externo R(x) e interno r(x), e o volume é dado por
V=integrala^bpil(R(x)^2 - r(x)^2r),dx

Passo 2

Em um x fixo, a região vai de y=0 até y=sin(x). Ao rodar em torno de y=1:
– o ponto mais distante é y=0, então
R(x)=l|1-0r|=1;
– o ponto mais próximo é y=sin(x), então
r(x)=l|1-sin(x)r|=1-sin(x),
pois sin(x)<=1 em [0,pi].

Passo 3

Substituindo em
V=integral0^pipil(R(x)^2 - r(x)^2r),dx
temos
V=integral0^pipil(1^2 -l(1-sin(x)r)^2r),dx

Resposta

V = pi integral0^pil(1 - (1 - sin(x))^2r),dx

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