Expresse a função h(x) como uma composição de duas funçoes f(x) e g(x). Use a regra da cadeia para calcular a derivada h^prime(x).
h(x)=exp [x+1x+2]+x+1x+2

Passo 1

O enunciado pede para expressar
h(x)=exp!gl[x+1x+2gr]+x+1x+2
como uma composição de duas funções f e g, e em seguida usar a regra da cadeia para achar h'(x).
Vamos precisar identificar uma função externa f(u) e uma interna g(x), calcular g'(x) e f'(u), e depois aplicar
h'(x)=f'l(g(x)r)cdot g'(x)

Passo 2

Definimos a função interna
g(x)=x+1x+2
e a função externa
f(u)=exp(u)+u
Com isso temos
h(x)=fl(g(x)r)

Passo 3

Agora calculamos a derivada de g(x). Usando a regra do quociente,
g'(x) =(x+2)cdot1 - (x+1)cdot1(x+2)^2 =x+2 - x - 1(x+2)^2 =1(x+2)^2

Passo 4

Em seguida obtemos a derivada de f(u). Como
f(u)=e^u+u,
temos
f'(u)=e^u+1

Passo 5

Pela regra da cadeia,
h'(x) =f'l(g(x)r)cdot g'(x) =l(e^g(x)+1r)cdot 1(x+2)^2
Lembrando que g(x)=(x+1)/(x+2),
h'(x) =e^x+1x+2 + 1(x+2)^2

Resposta

h'(x)=e^x+1x+2 + 1(x+2)^2

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