Expresse a função h(x) como uma composição de duas funçoes f(x) e g(x). Use a regra da cadeia para calcular a derivada h^prime(x).
h(x)=x^2+1x^4+2 x^2

Passo 1

O enunciado pede para escrever
h(x)=x^2+1x^4+2x^2
como composição de duas funções f e g, isto é, h(x)=fl(g(x)r), e usar a regra da cadeia para achar h'(x). O conteúdo necessário é: identificação de uma substituição que leve a uma função de uma só variável e aplicação da derivada composta (chain rule) combinada com a regra do quociente.

Passo 2

Escolhemos a função intermediária
g(x)=x^2,
de modo que, chamando u=g(x), temos
h(x)=u+1u^2+2uequiv f(u)
Logo, definimos
f(u)=u+1u^2+2u

Passo 3

Agora, calculamos f'(u) usando a regra do quociente:
f'(u) =(u^2+2u)cdotddu(u+1);-;(u+1)cdotddu(u^2+2u) (u^2+2u)^2 =(u^2+2u)cdot1 - (u+1)cdot(2u+2)(u^2+2u)^2
No numerador:
(u^2+2u)-l(2u^2+4u+2r) =-u^2-2u-2 =-(u^2+2u+2)
Portanto,
f'(u) =-u^2+2u+2(u^2+2u)^2

Passo 4

Derivada de g:
g'(x)=ddxl(x^2r)=2x

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia,
h'(x) =f'l(g(x)r),g'(x) =-l(g(x)r)^2+2,g(x)+2l(g(x)^2+2,g(x)r)^2;cdot;2x
Como g(x)=x^2, substituímos:
h'(x) =-,2xl(x^4+2x^2+2r)l(x^4+2x^2r)^2

Passo 6

Podemos simplificar um pouco: note que x^4+2x^2=x^2(x^2+2), então
l(x^4+2x^2r)^2=x^4(x^2+2)^2. Cancelando um fator x no numerador e denominador, fica
h'(x) =-,2l(x^4+2x^2+2r)x^3(x^2+2)^2

Resposta

h'(x) =-,2l(x^4+2x^2+2r)x^3(x^2+2)^2

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