Determine uma expressão para o
( n-ésimo ) termo da sequência
, dadas por:
Passo 1
O enunciado dá a sequência de termos
e pede: determinar uma expressão para o -ésimo termo
.\n
Informações dadas que são relevantes:
e pede: determinar uma expressão para o
Informações dadas que são relevantes:
- o primeiro termo é
;
- o segundo termo é
;
- o terceiro termo é
;
- os denominadores aparecem como produto de dois inteiros consecutivos que começam em
e .\n
O objetivo é encontrar uma fórmula fechada paraem função de .
Passo 2
Vamos identificar o padrão observando como o índice
aparece em numerador e denominador para os primeiros termos.\n
Para temos o termo
. Note que o numerador é
(igual a
) e os fatores do denominador são
e
, que são
e
quando
.\n
Para temos
. O numerador é
(igual a
) e os fatores do denominador são
e
, que são
e
quando
.\n
Para temos
. Novamente o numerador é
e o denominador tem
e
.\n
Logo o padrão natural é que o -ésimo termo tenha numerador
e denominador
.
Para
Para
Para
Logo o padrão natural é que o
Passo 3
Com base no padrão acima, uma proposta para a fórmula geral é
Agora vamos verificar que essa fórmula produz os primeiros termos dados no enunciado.
Passo 4
Verificação por substituição:
- Para
: , que coincide com o primeiro termo dado.\n
- Para
: , que coincide com o segundo termo.\n
- Para
: , que coincide com o terceiro termo.\n
Portanto a fórmula proposta está correta para os termos apresentados.
Passo 5
Agora eu te explico uma operação útil que às vezes aparece em provas: decompor
em frações parciais. Isso ajuda quando, por exemplo, precisarmos somar a sequência (telescopia). Quer ver como se faz passo a passo.\n
Partimos de
Partimos de
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 6
Somando as frações do lado direito obtemos
Como os denominadores são iguais, igualamos os numeradores:
Agora expandimos e agrupamos termos em
Comparando coeficientes de
e termos constantes obtemos o sistema linear
Subtraindo a segunda equação da primeira ou resolvendo diretamente, temos
.]
Passo 7
Portanto a decomposição em frações parciais é
Essa forma é equivalente à fórmula original e às vezes mais prática para manipulações (por exemplo, para somas telescópicas). Mas a expressão direta pedida para o
-ésimo termo já está dada em
.