Determine uma expressão para o \mathrm{a}_{\mathrm{n}} ( n-ésimo ) termo da sequência \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty}, dadas por:
\frac{1}{2.3}, \frac{2}{3.4}, \frac{3}{4.5}, \frac{4}{5.6}, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termos
\frac{1}{2\cdot 3}, \frac{2}{3\cdot 4}, \frac{3}{4\cdot 5}, \frac{4}{5\cdot 6}, \ldots
e pede: determinar uma expressão para o n-ésimo termo \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty}.\n
Informações dadas que são relevantes:
  • o primeiro termo é \frac{1}{2\cdot 3};
  • o segundo termo é \frac{2}{3\cdot 4};
  • o terceiro termo é \frac{3}{4\cdot 5};
  • os denominadores aparecem como produto de dois inteiros consecutivos que começam em 2 e 3.\n
    O objetivo é encontrar uma fórmula fechada para \displaystyle a_{n} em função de n.

Passo 2

Vamos identificar o padrão observando como o índice n aparece em numerador e denominador para os primeiros termos.\n
Para n=1 temos o termo \displaystyle \frac{1}{2\cdot 3}. Note que o numerador é 1 (igual a n) e os fatores do denominador são 2 e 3, que são n+1 e n+2 quando n=1.\n
Para n=2 temos \displaystyle \frac{2}{3\cdot 4}. O numerador é 2 (igual a n) e os fatores do denominador são 3 e 4, que são n+1 e n+2 quando n=2.\n
Para n=3 temos \displaystyle \frac{3}{4\cdot 5}. Novamente o numerador é n e o denominador tem n+1 e n+2.\n
Logo o padrão natural é que o n-ésimo termo tenha numerador n e denominador (n+1)(n+2).

Passo 3

Com base no padrão acima, uma proposta para a fórmula geral é
a_n=\frac{n}{(n+1)(n+2)}.
Agora vamos verificar que essa fórmula produz os primeiros termos dados no enunciado.

Passo 4

Verificação por substituição:
  • Para n=1: \displaystyle a_1=\frac{1}{(1+1)(1+2)}=\frac{1}{2\cdot 3}, que coincide com o primeiro termo dado.\n
  • Para n=2: \displaystyle a_2=\frac{2}{(2+1)(2+2)}=\frac{2}{3\cdot 4}, que coincide com o segundo termo.\n
  • Para n=3: \displaystyle a_3=\frac{3}{(3+1)(3+2)}=\frac{3}{4\cdot 5}, que coincide com o terceiro termo.\n
    Portanto a fórmula proposta está correta para os termos apresentados.

Passo 5

Agora eu te explico uma operação útil que às vezes aparece em provas: decompor \displaystyle a_n em frações parciais. Isso ajuda quando, por exemplo, precisarmos somar a sequência (telescopia). Quer ver como se faz passo a passo.\n
Partimos de
\frac{n}{(n+1)(n+2)} = \frac{A}{n+1} + \frac{B}{n+2},
onde A e B são constantes que vamos determinar.

Passo 6

Somando as frações do lado direito obtemos
\frac{A}{n+1} + \frac{B}{n+2} = \frac{A(n+2)+B(n+1)}{(n+1)(n+2)}.
Como os denominadores são iguais, igualamos os numeradores:
n = A(n+2) + B(n+1).
Agora expandimos e agrupamos termos em n\): \[n = (A+B)n + (2A+B).
Comparando coeficientes de n e termos constantes obtemos o sistema linear
\begin{cases} A+B=1,\\[4pt] 2A+B=0. \end{cases}
Subtraindo a segunda equação da primeira ou resolvendo diretamente, temos A=-1\] e \(B=2.]

Passo 7

Portanto a decomposição em frações parciais é
\frac{n}{(n+1)(n+2)} = -\frac{1}{n+1} + \frac{2}{n+2}.
Essa forma é equivalente à fórmula original e às vezes mais prática para manipulações (por exemplo, para somas telescópicas). Mas a expressão direta pedida para o n-ésimo termo já está dada em a_n=\dfrac{n}{(n+1)(n+2)}.

Resposta

\displaystyle a_{n}=\frac{n}{(n+1)(n+2)}

Exercícios relacionados