Determine uma expressão para o \mathrm{a}_{\mathrm{n}} ( n-ésimo ) termo da sequência \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty}, dadas por:
1, \frac{1}{1.3}, \frac{1}{1.3 .5}, \frac{1}{1.3 .5 .7}, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são
1,\quad \frac{1}{1\cdot 3},\quad \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5},\quad \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7},\\ \ldots
A tarefa é determinar uma expressão para o n-ésimo termo \{a_n\}_{n=1}^{+\infty}. Informações relevantes dadas pelo enunciado: cada termo é o inverso do produto dos primeiros n números ímpares (o primeiro termo corresponde ao produto vazio, que vale 1).

Passo 2

Vamos escrever esse produto de forma sistemática usando a notação de produto. Os números ímpares podem ser escritos pela fórmula 2k-1 quando k varia em 1,2,\dots. Portanto, o produto dos primeiros n ímpares é
\prod_{k=1}^{n} (2k-1).
Assim, uma forma direta para o termo a_n é o inverso desse produto, ou seja
a_n = \frac{1}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n} (2k-1)}.
Explicação da notação: \prod_{k=1}^{n} (2k-1) significa multiplicar todos os fatores (2\cdot 1-1),(2\cdot 2-1),\dots,(2\cdot n-1), isto é 1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1). Esse formato já descreve exatamente a sequência dada (para n=1 o produto é vazio e vale 1, dando a_1=1).

Passo 3

Existe uma notação curta para o produto dos ímpares: o duplo fatorial. Definimos, para inteiro n\ge1,
(2n-1)!! = \prod_{k=1}^{n} (2k-1) = 1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1).
Com essa definição, podemos reescrever o termo de forma compacta como
a_n = \frac{1}{(2n-1)!!}.
Explicando o duplo fatorial: ele é apenas uma forma curta de escrever o produto dos inteiros que têm a mesma paridade até certo ponto. Aqui usamos a versão ímpar.

Passo 4

Agora vamos relacionar o duplo fatorial com o fatorial comum, porque às vezes é mais conveniente trabalhar com (2n)! e n!. Observe que
(2n)! = \prod_{j=1}^{2n} j.
Podemos agrupar esse produto em pares (1\cdot 2)\,(3\cdot 4)\,(5\cdot 6)\cdots((2n-1)\cdot 2n). Escrevendo em termos de k temos
(2n)! = \prod_{k=1}^{n} \big((2k-1)\cdot (2k)\big).
Fatorando cada (2k) como 2\cdot k, obtemos
(2n)! = \left(\prod_{k=1}^{n} (2k-1)\right)\left(\prod_{k=1}^{n} 2k\right) = (2n-1)!! \cdot \left(2^{\,n}\cdot n!\right).
Aqui usamos que \prod_{k=1}^{n} 2k = 2^{\,n}\prod_{k=1}^{n} k = 2^{\,n} n!.

Passo 5

Da igualdade do Passo 4 isolamos (2n-1)!!:
(2n-1)!! = \frac{(2n)!}{2^{\,n}\,n!}.
Invertendo essa expressão (porque a_n é o inverso do duplo fatorial) obtemos uma forma alternativa para a_n:
a_n = \frac{1}{(2n-1)!!} = \frac{2^{\,n}\,n!}{(2n)!}.
Essa igualdade é útil porque muitas vezes é mais fácil calcular ou manipular fatoriais do que produtos explícitos de ímpares.

Passo 6

Vamos checar com alguns n pequenos para confirmar que as fórmulas batem com os termos dados:
  • Para n=1: \displaystyle a_1=\frac{2^{1}\,1!}{(2\cdot1)!}=\frac{2}{2}=1 (confere).
  • Para n=2: \displaystyle a_2=\frac{2^{2}\,2!}{4!}=\frac{4\cdot 2}{24}=\frac{1}{3}. Note que o termo da sequência dado é \frac{1}{1\cdot 3}=\frac{1}{3} (confere).
  • Para n=3: \displaystyle a_3=\frac{2^{3}\,3!}{6!}=\frac{8\cdot 6}{720}=\frac{48}{720}=\frac{1}{15}. O termo dado é \frac{1}{1\cdot3\cdot5}=\frac{1}{15} (confere).

Resposta

a_n = \frac{1}{\displaystyle\prod_{k=1}^{n} (2k-1)}
a_n = \frac{1}{(2n-1)!!}
a_n = \frac{2^{\,n}\,n!}{(2n)!}

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