Determine uma expressão para o
( n-ésimo ) termo da sequência
, dadas por:
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são
A tarefa é determinar uma expressão para o
-ésimo termo
. Informações relevantes dadas pelo enunciado: cada termo é o inverso do produto dos primeiros
números ímpares (o primeiro termo corresponde ao produto vazio, que vale
).
Passo 2
Vamos escrever esse produto de forma sistemática usando a notação de produto. Os números ímpares podem ser escritos pela fórmula
quando
varia em
. Portanto, o produto dos primeiros
ímpares é
Assim, uma forma direta para o termo
é o inverso desse produto, ou seja
Explicação da notação:
significa multiplicar todos os fatores
, isto é
. Esse formato já descreve exatamente a sequência dada (para
o produto é vazio e vale
, dando
).
Passo 3
Existe uma notação curta para o produto dos ímpares: o duplo fatorial. Definimos, para inteiro
,
Com essa definição, podemos reescrever o termo de forma compacta como
Explicando o duplo fatorial: ele é apenas uma forma curta de escrever o produto dos inteiros que têm a mesma paridade até certo ponto. Aqui usamos a versão ímpar.
Passo 4
Agora vamos relacionar o duplo fatorial com o fatorial comum, porque às vezes é mais conveniente trabalhar com
e
. Observe que
Podemos agrupar esse produto em pares
. Escrevendo em termos de
temos
Fatorando cada
como
, obtemos
Aqui usamos que
.
Passo 5
Da igualdade do Passo 4 isolamos
:
Invertendo essa expressão (porque
é o inverso do duplo fatorial) obtemos uma forma alternativa para
:
Essa igualdade é útil porque muitas vezes é mais fácil calcular ou manipular fatoriais do que produtos explícitos de ímpares.
Passo 6
Vamos checar com alguns
pequenos para confirmar que as fórmulas batem com os termos dados:
- Para
: (confere). - Para
: . Note que o termo da sequência dado é (confere). - Para
: . O termo dado é (confere).