Determine uma expressão para o \mathrm{a}_{\mathrm{n}} ( n-ésimo ) termo da sequência \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty}, dadas por:
\frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, \ldots e pede uma expressão para o n-ésimo termo a_{n}.
Informações explícitas fornecidas:
  • a_{1}=\dfrac{2}{3}.
  • a_{2}=\dfrac{3}{4}.
  • a_{3}=\dfrac{4}{5}.
  • a_{4}=\dfrac{5}{6}.
    O que se pede: encontrar uma fórmula em função de n que gere esses termos (isto é, uma expressão para \;a_{n}\; válida para todo n\ge 1).

Passo 2

Observe separadamente numeradores e denominadores para detectar padrão.
Numeradores: 2,3,4,5,\ldots. Aqui cada termo aumenta de 1 em relação ao anterior (diferença comum 1). Se chamarmos o numerador do n-ésimo termo de N_{n}, podemos usar a fórmula de uma progressão aritmética:
N_{n}=N_{1}+(n-1)\cdot d,
onde N_{1} é o primeiro numerador e d é a diferença comum. Aqui N_{1}=2 e d=1. Logo
N_{n}=2+(n-1)\cdot 1=n+1.
Denominadores: 3,4,5,6,\ldots. Mesma ideia: chamando de D_{n} o denominador do n-ésimo termo, com D_{1}=3 e diferença d=1, obtemos
D_{n}=3+(n-1)\cdot 1=n+2.

Passo 3

Agora formamos o n-ésimo termo como a razão entre numerador e denominador que encontramos:
a_{n}=\frac{N_{n}}{D_{n}}=\frac{n+1}{n+2}.
Vamos checar rapidamente com os termos dados: para n=1 \dfrac{1+1}{1+2}=\dfrac{2}{3}; para n=2 \dfrac{3}{4}; para n=3 \dfrac{4}{5}. Perfeito — a fórmula gera exatamente a sequência dada.

Passo 4

Explico de modo bem prático como você pode ver/lembrar essa forma na prova: ao indexar os termos como a_{1},a_{2},a_{3},\dots observe que o numerador do termo a_{n} é sempre um a mais que n (ou seja, n+1) e o denominador é dois a mais que n (ou seja, n+2). Uma forma alternativa, às vezes útil, é escrever a mesma expressão subtraindo de 1:
\frac{n+1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2},
o que mostra rapidamente que os termos se aproximam de 1 quando n cresce.

Resposta

\displaystyle a_{n}=\frac{n+1}{n+2}

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