Determine uma expressão para o
( n-ésimo ) termo da sequência
, dadas por:
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são
e pede uma expressão para o
-ésimo termo
.
Informações explícitas fornecidas:
Informações explícitas fornecidas:
-
. -
. -
. -
.
O que se pede: encontrar uma fórmula em função deque gere esses termos (isto é, uma expressão para válida para todo ).
Passo 2
Observe separadamente numeradores e denominadores para detectar padrão.
Numeradores: . Aqui cada termo aumenta de
em relação ao anterior (diferença comum
). Se chamarmos o numerador do
-ésimo termo de
, podemos usar a fórmula de uma progressão aritmética:
Numeradores:
onde
é o primeiro numerador e
é a diferença comum. Aqui
e
. Logo
Denominadores:
. Mesma ideia: chamando de
o denominador do
-ésimo termo, com
e diferença
, obtemos
Passo 3
Agora formamos o
-ésimo termo como a razão entre numerador e denominador que encontramos:
Vamos checar rapidamente com os termos dados: para
dá
; para
dá
; para
dá
. Perfeito — a fórmula gera exatamente a sequência dada.
Passo 4
Explico de modo bem prático como você pode ver/lembrar essa forma na prova: ao indexar os termos como
observe que o numerador do termo
é sempre um a mais que
(ou seja,
) e o denominador é dois a mais que
(ou seja,
). Uma forma alternativa, às vezes útil, é escrever a mesma expressão subtraindo de
:
o que mostra rapidamente que os termos se aproximam de
quando
cresce.