Determine uma expressão para o \mathrm{a}_{\mathrm{n}} ( n-ésimo ) termo da sequência \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty}, dadas por:
3, \frac{3}{2}, \frac{3}{2^{2}}, \frac{3}{2^{3}}, \ldots

Passo 1

O enunciado pede: determinar uma expressão para o termo de ordem n, isto é, encontrar uma fórmula fechada para a_{n} da sequência \{a_{n}\}_{n=1}^{+\infty} cuja lista de termos começa com:
3,\\ \frac{3}{2},\\ \frac{3}{2^{2}},\\ \frac{3}{2^{3}},\ldots
Informações dadas que vamos usar:
a_{1}=3,\qquad a_{2}=\frac{3}{2},\qquad a_{3}=\frac{3}{2^{2}},\qquad a_{4}=\frac{3}{2^{3}},\ldots

Passo 2

Observando os termos, notamos um padrão evidente: cada termo (a partir do segundo) é obtido multiplicando o termo anterior por \tfrac{1}{2}. Vou mostrar como transformar essa observação numa fórmula geral.
Definição útil (explicada devagar): se uma sequência tem a propriedade de que cada termo é obtido multiplicando o anterior por uma constante r, chamamos essa sequência de uma sequência geométrica (ou progressão geométrica). A constante r é a razão comum. Para identificar r a partir dos primeiros termos, calculamos a razão entre dois termos consecutivos:
r=\frac{a_{2}}{a_{1}}.
Aqui substituímos os valores que temos:
r=\frac{\frac{3}{2}}{3}.
Agora faço essa conta passo a passo: dividir por 3 é multiplicar por \frac{1}{3}, então
r=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{1}{2}.
Portanto a razão é \,r=\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Fórmula geral da sequência geométrica (aula curta e prática): se a_{1} é o primeiro termo e r é a razão, então o n-ésimo termo é dado por
a_{n}=a_{1}\,r^{\,n-1}.
Essa fórmula vem da ideia de que para ir de a_{1} até a_{2} multiplicamos por r, até a_{3} multiplicamos por r de novo, e assim por diante; ao chegar em a_{n} multiplicamos por r um total de n-1 vezes.
Aplicando ao nosso caso: a_{1}=3 e r=\tfrac{1}{2}. Substituo na fórmula:
a_{n}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}.

Passo 4

Faço uma pequena verificação para ganhar confiança (é o que você deve fazer na prova para conferir): calcular a_{4} pela fórmula e comparar com o termo dado.
a_{4}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{4-1}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{3}=3\cdot\frac{1}{8}=\frac{3}{8}.
No enunciado o quarto termo é \frac{3}{2^{3}}=\frac{3}{8}. Confere certinho — nossa fórmula está correta.

Passo 5

Formas alternativas (úteis em algumas provas): a expressão obtida pode ser reescrita de maneiras equivalentes, por exemplo
a_{n}=\frac{3}{2^{\,n-1}}\qquad\text{ou}\qquad a_{n}=3\cdot 2^{-(n-1)}.
Essas três formas representam exatamente a mesma coisa; escolha a que você achar mais confortável ao calcular números específicos.

Passo 6

Comentário final intuitivo (ajuda na prova): como \left|\tfrac{1}{2}\right|<1, os termos vão ficando cada vez menores em magnitude quando n cresce, ou seja, a_{n}\to 0 quando n\to+\infty. Isso é bom para você entender o comportamento da sequência além de só dar a fórmula.

Resposta

a_{n}=3\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}

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