Determine uma expressão para o
( n-ésimo ) termo da sequência
, dadas por:
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são
O que nos pede: determinar uma expressão para o
-ésimo termo
dessa sequência, isto é, uma fórmula que calcule
para qualquer
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os termos nas posições
(índices ímpares) são . - Os termos nas posições
(índices pares) são .
A partir disso precisamos escrever uma única fórmula que dêpara todo .
Passo 2
Vamos tratar separadamente os casos ímpar e par (é o jeito mais direto para identificar o padrão).
Considere um índice ímpar: escrevemos como
com
. Observando os termos:
Considere um índice ímpar: escrevemos
- para
(ou seja ) temos , - para
(ou seja ) temos , - para
(ou seja ) temos .
Perceba que esses valores são exatamente os números ímpares, que podem ser escritos como . Portanto, para ímpar (ou seja ):
Aqui
é o inteiro tal que
.
Passo 3
Agora considere um índice par: escrevemos
como
com
. Observando os termos:
- para
(ou seja ) temos , - para
(ou seja ) temos , - para
(ou seja ) temos .
Esses termos seguem a lei. Em termos de (onde ) podemos reescrever como
(porque
).
Passo 4
Juntando os dois casos, a forma mais clara e direta é uma função por partes (peça-a-peça) que diz: se
é ímpar,
; se
é par,
. Escrevendo isso em forma matemática:
Passo 5
Queremos também uma expressão única (sem “casos”) que reproduza essa definição. Para distinguir par/ímpar usamos
Multiplicando esses indicadores pelos valores correspondentes e somando, obtemos uma única fórmula:
Essa expressão dá
é ímpar (o segundo termo some) e dá
quando
é par (o primeiro termo some).
Passo 6
Vamos checar os primeiros termos com a fórmula única:
- Para
(ímpar): e , então . - Para
(par): e , então . - Para
(ímpar): dá . - Para
(par): dá .
Essas verificações conferem com os termos do enunciado.