Determine uma expressão para o \mathrm{a}_{\mathrm{n}} ( n-ésimo ) termo da sequência \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{+\infty}, dadas por:
1, \frac{1}{2^{2}}, 3, \frac{1}{2^{4}}, 5, \frac{1}{2^{6}}, \ldots

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos primeiros termos são
1,\\ \frac{1}{2^{2}},\\\ 3,\\ \frac{1}{2^{4}},\\\ 5,\\ \frac{1}{2^{6}},\ldots
O que nos pede: determinar uma expressão para o n-ésimo termo a_{n} dessa sequência, isto é, uma fórmula que calcule a_{n} para qualquer n\in\mathbb{N}. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os termos nas posições 1,3,5,\ldots (índices ímpares) são 1,3,5,\ldots.
  • Os termos nas posições 2,4,6,\ldots (índices pares) são \dfrac{1}{2^{2}},\dfrac{1}{2^{4}},\dfrac{1}{2^{6}},\ldots.
    A partir disso precisamos escrever uma única fórmula que dê a_{n} para todo n.

Passo 2

Vamos tratar separadamente os casos ímpar e par (é o jeito mais direto para identificar o padrão).
Considere um índice ímpar: escrevemos n como n=2k-1 com k\in\mathbb{N}. Observando os termos:
  • para k=1 (ou seja n=1) temos a_{1}=1,
  • para k=2 (ou seja n=3) temos a_{3}=3,
  • para k=3 (ou seja n=5) temos a_{5}=5.
    Perceba que esses valores são exatamente os números ímpares 1,3,5,\ldots, que podem ser escritos como 2k-1. Portanto, para n ímpar (ou seja n=2k-1):
a_{2k-1}=2k-1.
Aqui k é o inteiro tal que n=2k-1.

Passo 3

Agora considere um índice par: escrevemos n como n=2k com k\in\mathbb{N}. Observando os termos:
  • para k=1 (ou seja n=2) temos a_{2}=\dfrac{1}{2^{2}},
  • para k=2 (ou seja n=4) temos a_{4}=\dfrac{1}{2^{4}},
  • para k=3 (ou seja n=6) temos a_{6}=\dfrac{1}{2^{6}}.
    Esses termos seguem a lei a_{2k}=\dfrac{1}{2^{2k}}. Em termos de n (onde n=2k) podemos reescrever como
a_{n}=2^{-n}\quad\text{quando \(n\) é par.}é
(porque \dfrac{1}{2^{2k}}=2^{-2k}=2^{-n}).

Passo 4

Juntando os dois casos, a forma mais clara e direta é uma função por partes (peça-a-peça) que diz: se n é ímpar, a_{n}=n; se n é par, a_{n}=2^{-n}. Escrevendo isso em forma matemática:
a_{n}= \begin{cases} n, & \text{se } n \text{ é ímpar},\\[4pt] 2^{-n}, & \text{se } n \text{ é par}. \end{cases}éíé]

Passo 5

Queremos também uma expressão única (sem “casos”) que reproduza essa definição. Para distinguir par/ímpar usamos (-1)^{n}\), que vale \(1\) quando \(n\) é par e vale \(-1\) quando \(n\) é ímpar. Duas expressões úteis de indicador de paridade são: \[\frac{1-(-1)^{n}}{2}= \begin{cases} 1, & n\\ \text{ímpar},\\\\ 0, & n\\ \text{par}, \end{cases} \qquad \frac{1+(-1)^{n}}{2}= \begin{cases} 0, & n\\ \text{ímpar},\\\\ 1, & n\\ \text{par}. \end{cases}
Multiplicando esses indicadores pelos valores correspondentes e somando, obtemos uma única fórmula:
a_{n}=n\cdot\frac{1-(-1)^{n}}{2}+2^{-n}\cdot\frac{1+(-1)^{n}}{2}.
Essa expressão dá n\] quando \(n é ímpar (o segundo termo some) e dá 2^{-n} quando n é par (o primeiro termo some).

Passo 6

Vamos checar os primeiros termos com a fórmula única:
  • Para n=1 (ímpar): \dfrac{1-(-1)^{1}}{2}=1 e \dfrac{1+(-1)^{1}}{2}=0, então a_{1}=1\cdot 1 + 2^{-1}\cdot 0 =1.
  • Para n=2 (par): \dfrac{1-(-1)^{2}}{2}=0 e \dfrac{1+(-1)^{2}}{2}=1, então a_{2}=2\cdot 0 + 2^{-2}\cdot 1 =2^{-2}=\dfrac{1}{4}.
  • Para n=3 (ímpar): dá a_{3}=3.
  • Para n=4 (par): dá a_{4}=2^{-4}=\dfrac{1}{16}.
    Essas verificações conferem com os termos do enunciado.

Resposta

a_{n}= \begin{cases} n, & \text{se } n \text{ é ímpar},\\[4pt] 2^{-n}, & \text{se } n \text{ é par}, \end{cases}éíé
\text{ou equivalentemente}\quad a_{n}=n\cdot\frac{1-(-1)^{n}}{2}+2^{-n}\cdot\frac{1+(-1)^{n}}{2}.]

Exercícios relacionados