Questão 22

Resolva o PPL a seguir usando o método simplex revisado,
min & x1+x2 & x1+2 x2 >= 6 & 2 x1+x2 >= 6 & x1, x2 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para minimizar x1+x2 sujeito a
x1+2x2>=6, 2x1+x2>=6, x1,x2>=0,
usando o método simplex revisado.
Vamos converter para forma de igualdade com variáveis de excesso e artificiais, fazer a Fase I para obter uma base inicial factível sem artificiais e em seguida a Fase II para encontrar a solução ótima.

Passo 2

Para pôr em forma de igualdade, introduzimos excesso e artificiais . O sistema vira
Na Fase I minimizamos , com custo
.
A base inicial é , logo e .

Passo 3

Aplicando o simplex revisado na Fase I:
  1. Cálculo de custos reduzidos iniciais: para x1
bar c1=0-,(1,1)12=-3<0,
entra x1.
2. Direção d=B^-1a1=(1,2), razão mínima min6/1,6/2=3, sai a2.
3. Nova base B=[a1,x1]. Atualiza B^-1 e lambda^T=(1,-tfrac12).
4. Próxima variável candidata x2 com
bar c2=0-,(1,-tfrac12)21=-tfrac32<0,
entra x2.
5. Direção d=B^-1a2=(tfrac32,tfrac12), razão mínima min6/(tfrac32),6/(tfrac12)=4, sai a1.
6. Chega-se à base B=[x2,x1] com a1=a2=0 e valor da Fase I igual a 0, ou seja, alcançamos um BFS factível para o problema original.

Passo 4

Na Fase II usamos a base B=[x2,x1]. Temos
B^-1=132 & -1-1 & 2, b' = B^-1b = 22, cB=(1,1)
Calculamos lambda^T=cB^TB^-1=(tfrac13,tfrac13).
Os custos reduzidos de s1,s2 são
bar cs1=0-(tfrac13,tfrac13)-10=tfrac13, bar cs2=0-(tfrac13,tfrac13)0-1=tfrac13,
ambos não negativos, então a solução é ótima.

Passo 5

Como não há custos reduzidos negativos, a base atual dá a solução ótima.
Lemos x2=2 e x1=2, com valor objetivo
x1+x2=2+2=4

Resposta

x1=2,;;x2=2 e valor ótimo =4.

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