Determine expressões explícitas (como as do exercício (5)) para as funções trigonométricas hiperbólicas inversas abaixo:
f(z)=arctanh z

Passo 1

O enunciado pede a expressão explícita de arctanhz. Esse é o inverso da função hiperbólica tangente, de modo que, para resolver, vamos usar a definição
tanh w = e^w - e^-we^w + e^-w
e, a seguir, isolar w.

Passo 2

Pela definição de inversa, arctanhz é o valor w tal que
tanh w = z
Substituindo a forma exponencial de tanh w, temos
e^w - e^-we^w + e^-w = z

Passo 3

Multiplicando em cruz e reorganizando termos, obtemos
e^w - e^-w = z,(e^w + e^-w) Longrightarrow e^w(1 - z) = e^-w(1 + z)
Daí
e^2w = 1+z1-z

Passo 4

Tomando logaritmo natural em ambos os lados, ficamos com
w = 12 ln!l(tfrac1+z1-zr)
Este é o valor principal de arctanhz, com cortes de ramo normalmente em (-infty,-1] e [1,infty).

Resposta

boxed arctanhz = 12,ln!l(tfrac1+z1-zr)

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