Seja f(x, y)=x^2+x y+y^2
1.a) Determine a equação do plano trangente a gráfico de f(x, y) no ponto P(1,1).
1.b) Em que pontos os cixos coordenados x, y c z interceptam o plano tangente?

Passo 1

O enunciado pede o plano tangente ao gráfico de f(x,y)=x^2+xy+y^2 no ponto P(1,1,f(1,1)) e, em seguida, os pontos em que esse plano intercepta os eixos x, y e z. O conteúdo envolve derivadas parciais para obter o gradiente e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx(x,y)=partialpartial x(x^2+xy+y^2)=2x+y,
fy(x,y)=partialpartial y(x^2+xy+y^2)=x+2y

Passo 3

Avaliando em (1,1):
fx(1,1)=2cdot1+1=3, fy(1,1)=1+2cdot1=3, f(1,1)=1^2+1cdot1+1^2=3
Então o plano tangente é
z-3=3,(x-1)+3,(y-1)
Podemos reescrever como
z=3x+3y-3

Passo 4

Para os interceptos:
Para o eixo x fazemos y=0 e z=0:
0=3x+3cdot0-3implies x=1,
logo o intercepto é (1,0,0).
Para o eixo y fazemos x=0 e z=0:
0=3cdot0+3y-3implies y=1,
logo o intercepto é (0,1,0).
Para o eixo z fazemos x=0 e y=0:
z=3cdot0+3cdot0-3=-3,
logo o intercepto é (0,0,-3).

Resposta

(a) z-3=3,(x-1)+3,(y-1), ou equivalently z=3x+3y-3.
(b) Interceptos:
eixo x: (1,0,0)
eixo y: (0,1,0)
eixo z: (0,0,-3)

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