Questão 23

Considre o PPL
max & x1+2 x2 & x1+x2 <= 4 & 4 x1+2 x2 <= 12 & x2 <= 3 & x1, x2 >= 0

Passo 1

O enunciado define o problema de programação linear em duas variáveis x1 e x2:
max,x1+2x2
sujeito a
x1+x2<=4, 4x1+2x2<=12, x2<=3, x1>=0,;x2>=0
Conteúdo: otimização linear bidimensional. Estratégia: descrever graficamente a região viável, encontrar os vértices (extremos) e avaliar a função objetivo neles.

Passo 2

Reescrevendo as restrições em forma de “tope” para x2:
x2<=4 - x1, x2<=6 - 2x1, x2<=3, x1>=0,;x2>=0
Essas inequações definem um polígono convexo em R^2. Pelo Teorema Fundamental da Programação Linear, o ótimo máximo ocorre em algum vértice desse polígono.

Passo 3

Vamos achar as interseções que geram os vértices viáveis:
resolvendo vem , i.e.\ .
. Interseção de com :
i.e.\ .
Verificamos que todos esses pontos satisfazem também as demais restrições.

Passo 4

Agora avaliamos a função objetivo z=x1+2x2 em cada vértice:
(0,0):& z=0+2cdot0=0, (0,3):& z=0+2cdot3=6, (3,0):& z=3+2cdot0=3, (2,2):& z=2+2cdot2=6, (1,3):& z=1+2cdot3=7

Resposta

O valor máximo é 7, obtido em (x1,x2)=(1,3).

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