Determine as expressões de
e
, para as funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e um valor
e pede duas coisas:
- Determinar a expressão de
. - Determinar o valor de
com .
Informações dadas:
Passo 2
Primeiro vamos obter
, pois a derivada da inversa se relaciona com a derivada de
. Diferenciando termo a termo,
Observação útil: como
para todo
, a função
é estritamente crescente e, portanto, invertível (existe
). Isso garante que podemos falar em
.
Passo 3
Agora vamos lembrar e demonstrar a fórmula que usamos: se
e
é invertível e diferenciável com
, então aplicando a regra da cadeia à identidade
obtemos
Pela regra da cadeia, o lado esquerdo é
e o lado direito é
. Portanto
o que implica a fórmula básica
Interpretação: para calcular a derivada da inversa no ponto
basta inverter a derivada de
no ponto
.
Passo 4
Aplicando a fórmula anterior com a derivada que encontramos em
, obtemos
Essa é a expressão pedida para
.
Passo 5
Agora precisamos de
com
. Pelo que vimos,
onde
é tal que
. Então primeiro achamos
resolvendo
Testando
temos
, logo
é solução. Portanto
.
Passo 6
Agora avaliamos a fórmula da derivada da inversa no ponto
. Usando
e
,