Determine as expressões de \left(f^{-1}\right)^{\prime}(f(x)) e \left(f^{-1}\right)^{\prime}(b), para as funções:
f(x)=x+e^{x} ; b=1

Passo 1

O enunciado dá a função f e um valor b e pede duas coisas:
  • Determinar a expressão de \left(f^{-1}\right)^{\prime}(f(x)).
  • Determinar o valor de \left(f^{-1}\right)^{\prime}(b) com b=1.
Informações dadas:
f(x)=x+e^{x},\qquad b=1.

Passo 2

Primeiro vamos obter f'(x), pois a derivada da inversa se relaciona com a derivada de f. Diferenciando termo a termo,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)+\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}\bigr)=1+e^{x}.
Observação útil: como \;1+e^{x}>0 para todo x, a função f é estritamente crescente e, portanto, invertível (existe f^{-1}). Isso garante que podemos falar em \left(f^{-1}\right)'.

Passo 3

Agora vamos lembrar e demonstrar a fórmula que usamos: se y=f(x) e f é invertível e diferenciável com f'(x)\neq0, então aplicando a regra da cadeia à identidade f^{-1}(f(x))=x obtemos
\frac{d}{dx}\bigl(f^{-1}(f(x))\bigr)=\frac{d}{dx}(x).
Pela regra da cadeia, o lado esquerdo é
\left(f^{-1}\right)'\bigl(f(x)\bigr)\cdot f'(x),
e o lado direito é 1. Portanto
\left(f^{-1}\right)'\bigl(f(x)\bigr)\cdot f'(x)=1,
o que implica a fórmula básica
\left(f^{-1}\right)'\bigl(f(x)\bigr)=\frac{1}{f'(x)}.
Interpretação: para calcular a derivada da inversa no ponto f(x) basta inverter a derivada de f no ponto x.

Passo 4

Aplicando a fórmula anterior com a derivada que encontramos em \;f'(x)=1+e^{x}, obtemos
\left(f^{-1}\right)'\bigl(f(x)\bigr)=\frac{1}{1+e^{x}}.
Essa é a expressão pedida para \left(f^{-1}\right)'\bigl(f(x)\bigr).

Passo 5

Agora precisamos de \left(f^{-1}\right)^{\prime}(b) com b=1. Pelo que vimos, \left(f^{-1}\right)^{\prime}(b)=\dfrac{1}{f'(x)} onde x é tal que f(x)=b. Então primeiro achamos x resolvendo
f(x)=x+e^{x}=1.
Testando x=0 temos 0+e^{0}=1, logo x=0 é solução. Portanto f^{-1}(1)=0.

Passo 6

Agora avaliamos a fórmula da derivada da inversa no ponto b=1. Usando x=0 e f'(x)=1+e^{x},
\left(f^{-1}\right)^{\prime}(1)=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{1+e^{0}}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}.

Resposta

\left(f^{-1}\right)^{\prime}(f(x))=\dfrac{1}{1+e^{x}}
\left(f^{-1}\right)^{\prime}(1)=\dfrac{1}{2}

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