Determine a equação das retas tangente e normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados.
no ponto em que a reta tangente é paralela à reta :
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico dessa função, no ponto em que a reta tangente é paralela à reta
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A função:
. - A reta dada tem equação
; a inclinação (coeficiente angular) dessa reta é . - Precisamos encontrar o ponto do gráfico onde a tangente tem a mesma inclinação
, escrever a equação da tangente nesse ponto e também a equação da normal (reta perpendicular à tangente) nesse mesmo ponto.
Passo 2
Vamos lembrar como obter a inclinação da reta tangente: ela é dada pela derivada
da função no ponto. Também precisamos saber como derivar funções exponenciais do tipo
.
Regra importante (explicação didática):
- Para uma função
, podemos escrever . Ao derivar usando a regra da cadeia (derivada de é ), obtemos
Aqui:
-
é a base do expoente (no nosso caso ); -
é a função dentro do expoente (no nosso caso ); -
é a derivada de em relação a ; -
é o logaritmo natural de .
Exemplo rápido para fixar: a derivada de
é
. Se tivermos
, aplicamos a regra da cadeia e multiplicamos por
(derivada de
).
Passo 3
Aplicando a regra do passo anterior à função
:
- Identificamos
e , com .
Portanto a derivada é
Passo 4
A tangente deve ser paralela à reta dada, logo sua inclinação deve ser igual a
. Igualamos a derivada a esse valor:
Como
, podemos dividir ambos os lados por
:
Dividindo por
:
Escrevendo
como
e igualando expoentes (função exponencial base
é injetora):
Logo
Passo 5
Agora encontramos a coordenada
correspondente, substituindo
na função original:
Portanto o ponto do gráfico é
.
Passo 6
Equação da reta tangente: usamos a fórmula ponto-pendente da reta:
onde
e
. Assim
Se quiser escrever em forma explícita:
Passo 7
Equação da reta normal: a reta normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente angular
é o negativo do inverso do coeficiente da tangente:
Usando novamente a fórmula ponto-pendente com
:
Forma explícita possível: