Determine a equação das retas tangente e normal ao gráfico de cada função abaixo, nos pontos indicados.
y=2^{3 x-2} no ponto em que a reta tangente é paralela à reta : y-6 \ln (2) x=5

Passo 1

O enunciado dá a função y=2^{3x-2} e pede: determinar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico dessa função, no ponto em que a reta tangente é paralela à reta
y-6\ln(2)\,x=5.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A função: y=2^{3x-2}.
  • A reta dada tem equação y-6\ln(2)\,x=5; a inclinação (coeficiente angular) dessa reta é 6\ln(2).
  • Precisamos encontrar o ponto do gráfico onde a tangente tem a mesma inclinação 6\ln(2), escrever a equação da tangente nesse ponto e também a equação da normal (reta perpendicular à tangente) nesse mesmo ponto.

Passo 2

Vamos lembrar como obter a inclinação da reta tangente: ela é dada pela derivada y' da função no ponto. Também precisamos saber como derivar funções exponenciais do tipo a^{u(x)}.
Regra importante (explicação didática):
  • Para uma função y=a^{u(x)}, podemos escrever a^{u(x)} = e^{u(x)\ln a}. Ao derivar usando a regra da cadeia (derivada de e^{v(x)} é e^{v(x)}v'(x)), obtemos
\frac{d}{dx}a^{u(x)} = a^{u(x)}\cdot \ln(a)\cdot u'(x).
Aqui:
  • a é a base do expoente (no nosso caso a=2);
  • u(x) é a função dentro do expoente (no nosso caso u(x)=3x-2);
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • \ln(a) é o logaritmo natural de a.
Exemplo rápido para fixar: a derivada de 2^x é 2^x\ln(2). Se tivermos 2^{3x-2}, aplicamos a regra da cadeia e multiplicamos por 3 (derivada de 3x-2).

Passo 3

Aplicando a regra do passo anterior à função y=2^{3x-2}:
  • Identificamos a=2 e u(x)=3x-2, com u'(x)=3.
    Portanto a derivada é
y' = 2^{3x-2}\cdot \ln(2)\cdot 3 = 3\ln(2)\,2^{3x-2}.

Passo 4

A tangente deve ser paralela à reta dada, logo sua inclinação deve ser igual a 6\ln(2). Igualamos a derivada a esse valor:
3\ln(2)\,2^{3x-2} = 6\ln(2).
Como \ln(2)\neq 0, podemos dividir ambos os lados por \ln(2):
3\,2^{3x-2} = 6.
Dividindo por 3:
2^{3x-2} = 2.
Escrevendo 2 como 2^1 e igualando expoentes (função exponencial base 2 é injetora):
3x-2 = 1.
Logo
x = 1.

Passo 5

Agora encontramos a coordenada y correspondente, substituindo x=1 na função original:
y = 2^{3\cdot1 - 2} = 2^{1} = 2.
Portanto o ponto do gráfico é (1,2).

Passo 6

Equação da reta tangente: usamos a fórmula ponto-pendente da reta:
y - y_0 = m_{\text{tang}}(x - x_0),
onde (x_0,y_0)=(1,2) e m_{\text{tang}}=6\ln(2). Assim
y - 2 = 6\ln(2)\,(x - 1).
Se quiser escrever em forma explícita:
y = 6\ln(2)\,x -6\ln(2) + 2.

Passo 7

Equação da reta normal: a reta normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente angular m_{\text{norm}} é o negativo do inverso do coeficiente da tangente:
m_{\text{norm}} = -\frac{1}{m_{\text{tang}}} = -\frac{1}{6\ln(2)}.
Usando novamente a fórmula ponto-pendente com (1,2):
y - 2 = -\frac{1}{6\ln(2)}(x - 1).
Forma explícita possível:
y = -\frac{1}{6\ln(2)}\,x + \frac{1}{6\ln(2)} + 2.

Resposta

y-2=6\ln(2)\,(x-1)
y-2=-\dfrac{1}{6\ln(2)}\,(x-1)

Exercícios relacionados