Encontre a expressão da segunda derivada das funções indicadas e seu valor nos pontos indicados:
a) (fou) (x), no ponto
, onde
e
b) No ponto de abscissa
, da função da
questão (a)
a) (fou) (x), no ponto
b) No ponto de abscissa
Passo 1
O enunciado pede duas coisas distintas:
- (a) Para a função composta
, onde está dado e , devo encontrar a expressão da segunda derivada (ou seja, a segunda derivada da função composta em termos de ) e calcular o valor dessa segunda derivada no ponto de abscissa . - (b) Pede o valor da segunda derivada no ponto de abscissa
da “função da 3ª questão (a)”. Aqui falta a definição dessa função (a questão 3(a) não foi fornecida neste enunciado), então não tenho a expressão dessa função para derivar.
Informações dadas que vamos usar:
Para (b) apenas foi dado o ponto
mas não foi dada a função referida.
Passo 2
Primeiro precisamos entender como derivar uma função composta. A regra que usamos é a regra da cadeia. Ela diz o seguinte:
Se temos uma função composta
, onde
é função de
e
é função de
, então a derivada de primeira ordem é
Aqui:
-
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a ; -
significa que substituímos por na expressão .
Aplicando isso ao nosso caso: como
, a derivada de
em relação a
é
E como
, a derivada de
em relação a
é
Portanto a derivada primeira da função composta é
Agora substituímos
:
Passo 3
Simplificamos a expressão de
. Multiplicando os coeficientes:
Podemos opcionalmente expandir para uma soma de potências de
(isso facilita a derivação para obter a segunda derivada):
Passo 4
Agora vamos achar a segunda derivada
, que é a derivada de
. Temos duas formas equivalentes: derivar a forma em produto
usando a regra do produto, ou derivar a forma expandida
termo a termo. Vou mostrar as duas para ficar bem claro.
Método 1 — regra do produto:
Se e
, então
.
Se
-
. -
.
Aplicando:
Agora calculamos os termos:
Somando:
Método 2 — derivação da forma expandida:
Se , derivamos termo a termo usando
:
Se
que é exatamente o mesmo resultado. Isso confirma que a segunda derivada é
Passo 5
Agora calculamos o valor de
no ponto pedido em (a), que é
. Substituímos
na expressão encontrada:
Passo 6
Sobre a parte (b): o enunciado refere-se à “função da 3ª questão (a)”, porém essa função não foi fornecida aqui. Sem conhecer a expressão dessa função não há como calcular a sua segunda derivada nem avaliá-la no ponto
. Para resolver (b) eu precisaria que você enviasse a expressão explícita da função mencionada na 3ª questão (a).
Resposta
a)
b) Não é possível calcular: a função referida como “da 3ª questão (a)” não foi fornecida.
b) Não é possível calcular: a função referida como “da 3ª questão (a)” não foi fornecida.