Encontre a expressão da segunda derivada das funções indicadas e seu valor nos pontos indicados:
a) (fou) (x), no ponto \mathrm{x}_{\mathrm{o}}=1, onde \mathrm{f}(\mathrm{u})=\mathrm{u}^{2} e \mathrm{u}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^{3}-4
b) No ponto de abscissa x_{0}=\sqrt{\pi}, da função da 3^{a} questão (a)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas:
  • (a) Para a função composta f(u(x)), onde está dado f(u)=u^{2} e u(x)=x^{3}-4, devo encontrar a expressão da segunda derivada \,f''(x)\, (ou seja, a segunda derivada da função composta em termos de x) e calcular o valor dessa segunda derivada no ponto de abscissa x_{0}=1.
  • (b) Pede o valor da segunda derivada no ponto de abscissa x_{0}=\sqrt{\pi} da “função da 3ª questão (a)”. Aqui falta a definição dessa função (a questão 3(a) não foi fornecida neste enunciado), então não tenho a expressão dessa função para derivar.
Informações dadas que vamos usar:
f(u)=u^{2},\qquad u(x)=x^{3}-4,\qquad x_{0}=1\\ (\text{para (a)}).
Para (b) apenas foi dado o ponto x_{0}=\sqrt{\pi} mas não foi dada a função referida.

Passo 2

Primeiro precisamos entender como derivar uma função composta. A regra que usamos é a regra da cadeia. Ela diz o seguinte:
Se temos uma função composta F(x)=f(u(x)), onde f é função de u e u é função de x, então a derivada de primeira ordem é
F'(x)=\frac{d}{dx}f(u(x))=f'(u(x))\cdot u'(x).
Aqui:
  • f'(u) é a derivada de f em relação a u;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • f'(u(x)) significa que substituímos u por u(x) na expressão f'(u).
Aplicando isso ao nosso caso: como f(u)=u^{2}, a derivada de f em relação a u é
f'(u)=2u.
E como u(x)=x^{3}-4, a derivada de u em relação a x é
u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3}-4)=3x^{2}.
Portanto a derivada primeira da função composta é
\frac{d}{dx}f(u(x))=f'(u(x))\cdot u'(x)=2\,u(x)\cdot 3x^{2}.
Agora substituímos u(x)=x^{3}-4:
f'(x)=2\,(x^{3}-4)\cdot 3x^{2}.

Passo 3

Simplificamos a expressão de f'(x). Multiplicando os coeficientes:
f'(x)=6x^{2}(x^{3}-4).
Podemos opcionalmente expandir para uma soma de potências de x (isso facilita a derivação para obter a segunda derivada):
f'(x)=6x^{2}\cdot x^{3}-6x^{2}\cdot 4=6x^{5}-24x^{2}.

Passo 4

Agora vamos achar a segunda derivada f''(x), que é a derivada de f'(x). Temos duas formas equivalentes: derivar a forma em produto 6x^{2}\cdot(x^{3}-4) usando a regra do produto, ou derivar a forma expandida 6x^{5}-24x^{2} termo a termo. Vou mostrar as duas para ficar bem claro.
Método 1 — regra do produto:
Se v(x)=6x^{2} e w(x)=x^{3}-4, então (v\cdot w)'=v'\cdot w+v\cdot w'.
  • v'(x)=\frac{d}{dx}(6x^{2})=12x.
  • w'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3}-4)=3x^{2}.
    Aplicando:
f''(x)=12x\cdot (x^{3}-4)+6x^{2}\cdot 3x^{2}.
Agora calculamos os termos:
12x\cdot x^{3}=12x^{4},\qquad 12x\cdot (-4)=-48x,\qquad 6x^{2}\cdot 3x^{2}=18x^{4}.
Somando:
f''(x)=12x^{4}-48x+18x^{4}=(12x^{4}+18x^{4})-48x=30x^{4}-48x.
Método 2 — derivação da forma expandida:
Se f'(x)=6x^{5}-24x^{2}, derivamos termo a termo usando \frac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}:
f''(x)=6\cdot 5 x^{4}-24\cdot 2 x=30x^{4}-48x,
que é exatamente o mesmo resultado. Isso confirma que a segunda derivada é
\boxed{f''(x)=30x^{4}-48x.}

Passo 5

Agora calculamos o valor de f''(x) no ponto pedido em (a), que é x_{0}=1. Substituímos x=1 na expressão encontrada:
f''(1)=30\cdot 1^{4}-48\cdot 1=30-48=-18.

Passo 6

Sobre a parte (b): o enunciado refere-se à “função da 3ª questão (a)”, porém essa função não foi fornecida aqui. Sem conhecer a expressão dessa função não há como calcular a sua segunda derivada nem avaliá-la no ponto x_{0}=\sqrt{\pi}. Para resolver (b) eu precisaria que você enviasse a expressão explícita da função mencionada na 3ª questão (a).

Resposta

a) f''(x)=30x^{4}-48x,\quad f''(1)=-18
b) Não é possível calcular: a função referida como “da 3ª questão (a)” não foi fornecida.

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