Determine as expressões de \left(f^{-1}\right)^{\prime}(f(x)) e \left(f^{-1}\right)^{\prime}(b), para as funções:
f(x)=2 x+\cos (x) ; b=1

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. A expressão de \left(f^{-1}\right)^{\prime}(f(x)).
  2. A expressão de \left(f^{-1}\right)^{\prime}(b) quando b=1.
As informações dadas são:
f(x)=2x+\cos(x)
e
b=1.
Não vamos resolver nada ainda; só listei o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Primeiro precisamos garantir que f tem inversa diferenciável no domínio que nos interessa. Para isso vou calcular a derivada de f e verificar o sinal dela.
A derivada de \cos(x) é -\sin(x). Assim,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x+\cos(x)\bigr)=2-\sin(x).

Passo 3

Agora analisamos o sinal de f'(x). Como para todo x temos \sin(x)\le 1, então
2-\sin(x)\ge 2-1=1.
Isso mostra que f'(x)\ge 1 para todo x, ou seja, f'(x)>0 sempre. Quando a derivada é sempre positiva, f é estritamente crescente e, portanto, injetora; além disso, sendo soma de funções diferenciáveis, f é diferenciável e sua inversa f^{-1} também é diferenciável onde existir. Logo podemos aplicar a fórmula da derivada da inversa.

Passo 4

A fórmula geral da derivada da função inversa é (vou escrever e explicar):
\text{se }y=f(x)\text{ e }f^{-1}\text{ existe e é diferenciável, então}\quad (f^{-1})'(y)=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(y)\bigr)}.éáã
Aqui:
  • y é o valor no eixo vertical, ou seja y=f(x).
  • f^{-1}(y) é o x tal que f(x)=y.
  • f' é a derivada de f.
    A ideia intuitiva: a inclinação da inversa no ponto y é o inverso da inclinação de f no ponto original x.

Passo 5

Aplicando a fórmula ao caso particular y=f(x), substituímos y por f(x). Assim obtemos:
(f^{-1})'\bigl(f(x)\bigr)=\frac{1}{f'\bigl(f^{-1}(f(x))\bigr)}.
Como f^{-1}(f(x))=x, isto simplifica para
(f^{-1})'\bigl(f(x)\bigr)=\frac{1}{f'(x)}.

Passo 6

Agora usamos a expressão já encontrada para f'(x). Lembrando que f'(x)=2-\sin(x), temos
(f^{-1})'\bigl(f(x)\bigr)=\frac{1}{2-\sin(x)}.
Essa é a expressão geral pedida no item 1.

Passo 7

Para encontrar (f^{-1})'(b) com b=1 precisamos de x_0 tal que f(x_0)=1, porque então (f^{-1})'(1)=1/f'(x_0).
Vamos achar x_0 resolvendo
2x+\cos(x)=1.
Verifico um palpite simples: para x=0 temos 2\cdot 0+\cos(0)=0+1=1. Logo x_0=0 é solução; não é necessário procurar outras porque basta um x_0 tal que f(x_0)=1 e pela injetividade ele é único.

Passo 8

Agora calculo a derivada de f em x_0=0:
f'(0)=2-\sin(0)=2-0=2.
Então, usando a fórmula da inversa,
(f^{-1})'(1)=\frac{1}{f'(0)}=\frac{1}{2}.

Resposta

(f^{-1})'(f(x))=\dfrac{1}{2-\sin(x)}
(f^{-1})'(1)=\dfrac{1}{2}

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