Determine as expressões de
e
, para as funções:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- A expressão de
. - A expressão de
quando .
As informações dadas são:
e
Não vamos resolver nada ainda; só listei o que é pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Primeiro precisamos garantir que
tem inversa diferenciável no domínio que nos interessa. Para isso vou calcular a derivada de
e verificar o sinal dela.
A derivada de
é
. Assim,
Passo 3
Agora analisamos o sinal de
. Como para todo
temos
, então
Isso mostra que
para todo
, ou seja,
sempre. Quando a derivada é sempre positiva,
é estritamente crescente e, portanto, injetora; além disso, sendo soma de funções diferenciáveis,
é diferenciável e sua inversa
também é diferenciável onde existir. Logo podemos aplicar a fórmula da derivada da inversa.
Passo 4
A fórmula geral da derivada da função inversa é (vou escrever e explicar):
Aqui:
-
é o valor no eixo vertical, ou seja . -
é o tal que . -
é a derivada de .
A ideia intuitiva: a inclinação da inversa no pontoé o inverso da inclinação de no ponto original .
Passo 5
Aplicando a fórmula ao caso particular
, substituímos
por
. Assim obtemos:
Como
, isto simplifica para
Passo 6
Agora usamos a expressão já encontrada para
. Lembrando que
, temos
Essa é a expressão geral pedida no item 1.
Passo 7
Para encontrar
com
precisamos de
tal que
, porque então
.
Vamos achar
resolvendo
Verifico um palpite simples: para
temos
. Logo
é solução; não é necessário procurar outras porque basta um
tal que
e pela injetividade ele é único.
Passo 8
Agora calculo a derivada de
em
:
Então, usando a fórmula da inversa,