Determine quais expressões são polinômios: pi
2) Determine o valor de r no polinômio P(x)=x^3+4 x^2+r x-3, sabendo-se que x=-2 é raiz. Determine a equação deste polinômio.

Passo 1

O enunciado pede para (i) determinar se a dada expressão é um polinômio e (ii) achar o valor de r em P(x)=x^3+4x^2+rx-3 sabendo que x=-2 é raiz. Vamos usar a definição de polinômio e o Teorema do Resto (ou fato: se a é raiz então P(a)=0).

Passo 2

Uma expressão é um polinômio se puder ser escrita como soma finita de monômios anx^n com expoentes inteiros não negativos. No caso de pi, não há variável, ou seja, é um polinômio constante de grau zero (coeficiente pi e expoente 0).

Passo 3

Para encontrar r, usamos que x=-2 é raiz, logo devemos impor P(-2)=0. Substituímos na expressão de P(x):
Calculamos em bloco para ficar claro:
P(-2)=(-2)^3+4(-2)^2+r(-2)-3=-8+16-2r-3=5-2r
Como P(-2)=0, temos 5-2r=0, logo

Passo 4

Resolvendo 5-2r=0 obtemos 2r=5 e assim r=tfrac52. Com isso, o polinômio fica
Escrevendo o polinômio com o valor de r encontrado, temos P(x)=x^3+4x^2+tfrac52x-3.

Resposta

pi é um polinômio constante de grau zero; r=tfrac52; o polinômio é P(x)=x^3+4x^2+tfrac52x-3.

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