Prezados(as) alunos(as), para reforçar os conceitos abordados em sala, vocês deverão realizar uma tarefa envolvendo os métodos de solução de Equações Diferenciais Ordinárias. A atividade consiste em:
  1. Escolher um exercício para cada método de solução de EDOs estudado (por exemplo: método de Fator Integrante para EDOs lineares, método de Equações Separáveis, Método de Equações Exatas, entre outros).
  2. Os exercícios deverão ser escolhidos das listas de exercícios disponibilizadas no SIGAA.
  3. Resolver a mão cada exercício, apresentando todos os pasos da solução.
  4. Gerar os gráficos das famílias de soluções utilizando um software da sua escolha (como GeoGebra, Desmos, MATLAB, Python/Matplotlib, etc.).
  5. Anexar os gráficos correspondentes a cada exercício,identificando claramente as funções solução envolvidas.
  6. Entregar a tarefa em formato digital.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o método de Equações Separáveis. O que isso significa? Que a equação pode ser escrita de forma que todas as variáveis $ y $ fiquem de um lado e todas as variáveis $ x $ do outro. Para isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos considerar uma EDO simples que é separável. Por exemplo:
dydx = ky
Aqui, $ k $ é uma constante. Nosso objetivo é isolar $ y $ e $ x $ para poder integrar.

Passo 3

A ideia do método de separáveis é reescrever a equação de maneira que todas as $ y $ fiquem de um lado e todas as $ x $ do outro. Vamos dividir ambos os lados por $ y $:
y
Agora, multiplicamos ambos os lados por $ dx $:
x

Passo 4

Agora que conseguimos separar as variáveis, vamos integrar ambos os lados. A integral de $ \frac{1}{y} dy $ é $ \ln|y| $ e a integral de $ k , dx $ é $ kx $. Então temos:
1y dy
ln|y|
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 5

Para achar $ y $ em função de $ x $, vamos resolver a equação para $ y $. Primeiro, aplicamos a função exponencial dos dois lados para eliminar o logaritmo:
y
x
Podemos simplificar $ e^{C} $ para uma nova constante $ C’ $:
y
Onde $ C’ $ pode ser positivo ou negativo, então podemos omitir o valor absoluto.

Resposta

A solução geral da EDO $ \frac{dy}{dx} = ky $ é:
dydx = ky
Onde $ C $ é uma constante real.

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