Prezados(as) alunos(as), para reforçar os conceitos abordados em sala, vocês deverão realizar uma tarefa envolvendo os métodos de solução de Equações Diferenciais Ordinárias. A atividade consiste em:
- Escolher um exercício para cada método de solução de EDOs estudado (por exemplo: método de Fator Integrante para EDOs lineares, método de Equações Separáveis, Método de Equações Exatas, entre outros).
- Os exercícios deverão ser escolhidos das listas de exercícios disponibilizadas no SIGAA.
- Resolver a mão cada exercício, apresentando todos os pasos da solução.
- Gerar os gráficos das famílias de soluções utilizando um software da sua escolha (como GeoGebra, Desmos, MATLAB, Python/Matplotlib, etc.).
- Anexar os gráficos correspondentes a cada exercício,identificando claramente as funções solução envolvidas.
- Entregar a tarefa em formato digital.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício de Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o método de Equações Separáveis. O que isso significa? Que a equação pode ser escrita de forma que todas as variáveis $ y $ fiquem de um lado e todas as variáveis $ x $ do outro. Para isso, vamos precisar separar as variáveis e integrar ambos os lados. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos considerar uma EDO simples que é separável. Por exemplo:
Aqui, $ k $ é uma constante. Nosso objetivo é isolar $ y $ e $ x $ para poder integrar.
Passo 3
A ideia do método de separáveis é reescrever a equação de maneira que todas as $ y $ fiquem de um lado e todas as $ x $ do outro. Vamos dividir ambos os lados por $ y $:
Agora, multiplicamos ambos os lados por $ dx $:
Passo 4
Agora que conseguimos separar as variáveis, vamos integrar ambos os lados. A integral de $ \frac{1}{y} dy $ é $ \ln|y| $ e a integral de $ k , dx $ é $ kx $. Então temos:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 5
Para achar $ y $ em função de $ x $, vamos resolver a equação para $ y $. Primeiro, aplicamos a função exponencial dos dois lados para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar $ e^{C} $ para uma nova constante $ C’ $:
Onde $ C’ $ pode ser positivo ou negativo, então podemos omitir o valor absoluto.
Resposta
A solução geral da EDO $ \frac{dy}{dx} = ky $ é:
Onde $ C $ é uma constante real.