Determine os extremos absolutos da função
nos intervalos definidos
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no domínio
.
A pergunta é: determinar os extremos absolutos de quando consideramos apenas os pontos
em
.
Informações relevantes dadas:
A pergunta é: determinar os extremos absolutos de
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O domínio é
, isto é, todos os tais que . - O ponto
NÃO pertence ao domínio (abertura à esquerda); pertence ao domínio.
Passo 2
Estratégia (resumida no que vou fazer, sem resolver ainda): para encontrar extremos absolutos numa função diferenciável sobre um intervalo, verificamos:
- pontos críticos internos (onde a derivada é zero ou não existe) que pertençam ao domínio;
- pontos de fronteira do domínio que pertençam ao domínio (aqui:
pertence; não pertence); - e, se necessário, comportamento limite nas fronteiras não incluídas (aqui: olhar o limite quando
).
Agora vamos executar isso passo a passo, explicando cada conceito.
Passo 3
Calcular a derivada e explicar o porquê. A derivada dá a taxa de variação instantânea da função; se num ponto interior a função tem um extremo relativo e a derivada existe, então essa derivada vale zero (teorema de Fermat). Para
podemos obter a derivada pelo limite do quociente de diferença:
Portanto a derivada é
para todo
.
Passo 4
Encontrar pontos críticos no domínio
. Pontos críticos são pontos em que
ou
não existe.
Resolver dá
. Mas
NÃO pertence a
. Além disso
existe para todo
. Logo, não há pontos críticos em
. Conclusão: não há candidatos a extremo dentro do intervalo aberto
pelo critério da derivada.
Resolver
Passo 5
Examinar os pontos de fronteira que pertencem ao domínio. O domínio
tem apenas um extremo incluído:
. Avaliar a função aí:
Esse é um candidato a máximo absoluto (porque é o valor no ponto de fronteira incluído).
Passo 6
Verificar comportamento quando
aproxima-se de
pela direita (fronteira não incluída). Mesmo que
não pertença ao domínio, pode acontecer que a função se aproxime de um valor mínimo que não é atingido. Calcular o limite:
Isso mostra que os valores de
em
podem ficar arbitrariamente próximos de
, mas nunca igualam
porque
não pertence a
. Portanto
é o ínfimo (
) de
, mas não é mínimo (não é alcançado).
Passo 7
Usar monotonicidade para confirmar. Como
para todo
, a função é estritamente crescente em
. Para uma função estritamente crescente no intervalo aberto à esquerda, o menor valor ocorre na borda esquerda (aqui em
) e o maior ocorre na borda direita incluída (aqui em
). Como a borda esquerda não está incluída, não há mínimo atingido; como a borda direita está incluída, o máximo em
é atingido e é absoluto.
Passo 8
Conclusão final a partir dos candidatos analisados:
- Máximo absoluto: existe e ocorre em
com valor . - Mínimo absoluto: não existe, pois o menor valor aparente seria
que é mas não é atingido por nenhum .
Resposta
Máximo absoluto:
Mínimo absoluto: não existe (infimum )
Mínimo absoluto: não existe (infimum