Determine os extremos absolutos da função y=x^{2} nos intervalos definidos
D=(0,2]

Passo 1

O enunciado dá a função y=x^{2} definida no domínio D=(0,2].
A pergunta é: determinar os extremos absolutos de y=x^{2} quando consideramos apenas os pontos x em D.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}.
  • O domínio é D=(0,2], isto é, todos os x tais que 0<x\le 2.
  • O ponto x=0 NÃO pertence ao domínio (abertura à esquerda); x=2 pertence ao domínio.

Passo 2

Estratégia (resumida no que vou fazer, sem resolver ainda): para encontrar extremos absolutos numa função diferenciável sobre um intervalo, verificamos:
  • pontos críticos internos (onde a derivada é zero ou não existe) que pertençam ao domínio;
  • pontos de fronteira do domínio que pertençam ao domínio (aqui: x=2 pertence; x=0 não pertence);
  • e, se necessário, comportamento limite nas fronteiras não incluídas (aqui: olhar o limite quando x\to 0^{+}).
    Agora vamos executar isso passo a passo, explicando cada conceito.

Passo 3

Calcular a derivada e explicar o porquê. A derivada dá a taxa de variação instantânea da função; se num ponto interior a função tem um extremo relativo e a derivada existe, então essa derivada vale zero (teorema de Fermat). Para f(x)=x^{2} podemos obter a derivada pelo limite do quociente de diferença:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}= \lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^{2}}{h}=\lim_{h\to 0}(2x+h)=2x.
Portanto a derivada é f'(x)=2x para todo x.

Passo 4

Encontrar pontos críticos no domínio D. Pontos críticos são pontos em que f'(x)=0 ou f' não existe.
Resolver f'(x)=2x=0 x=0. Mas x=0 NÃO pertence a D=(0,2]. Além disso f' existe para todo x. Logo, não há pontos críticos em D. Conclusão: não há candidatos a extremo dentro do intervalo aberto (0,2) pelo critério da derivada.

Passo 5

Examinar os pontos de fronteira que pertencem ao domínio. O domínio D=(0,2] tem apenas um extremo incluído: x=2. Avaliar a função aí:
f(2)=2^{2}=4.
Esse é um candidato a máximo absoluto (porque é o valor no ponto de fronteira incluído).

Passo 6

Verificar comportamento quando x aproxima-se de 0 pela direita (fronteira não incluída). Mesmo que x=0 não pertença ao domínio, pode acontecer que a função se aproxime de um valor mínimo que não é atingido. Calcular o limite:
\lim_{x\to 0^{+}}x^{2}=0.
Isso mostra que os valores de f em D podem ficar arbitrariamente próximos de 0, mas nunca igualam 0 porque x=0 não pertence a D. Portanto 0 é o ínfimo ( \inf) de f(D), mas não é mínimo (não é alcançado).

Passo 7

Usar monotonicidade para confirmar. Como f'(x)=2x>0 para todo x\in(0,2], a função é estritamente crescente em D. Para uma função estritamente crescente no intervalo aberto à esquerda, o menor valor ocorre na borda esquerda (aqui em x\to0^{+}) e o maior ocorre na borda direita incluída (aqui em x=2). Como a borda esquerda não está incluída, não há mínimo atingido; como a borda direita está incluída, o máximo em x=2 é atingido e é absoluto.

Passo 8

Conclusão final a partir dos candidatos analisados:
  • Máximo absoluto: existe e ocorre em x=2 com valor f(2)=4.
  • Mínimo absoluto: não existe, pois o menor valor aparente seria 0 que é \inf f(D) mas não é atingido por nenhum x\in D.

Resposta

Máximo absoluto: (2,4)
Mínimo absoluto: não existe (infimum =0)

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