Determine os extremos absolutos da função y=x^{2} nos intervalos definidos
D=[0,2]

Passo 1

O enunciado dá a função y=x^{2} e o domínio D=[0,2]. O que a questão pede é: determinar os extremos absolutos da função nesse intervalo — ou seja, encontrar os pontos em D onde y atinge seu menor valor absoluto (mínimo global no intervalo) e seu maior valor absoluto (máximo global no intervalo), junto com os valores de y nesses pontos. Informações relevantes dadas:
  • A função é y=x^{2}.
  • O domínio considerado é o intervalo fechado [0,2].
  • Não há outras restrições ou dados adicionais.

Passo 2

Plano de ataque (passo a passo que geralmente funciona em prova):
  1. Encontrar os pontos críticos internos: pontos em (0,2) onde a derivada existe e é zero, ou onde a derivada não existe. Esses são candidatos a extremos internos.
  2. Considerar também os extremos possíveis nos extremos do intervalo (os endpoints) x=0 e x=2.
  3. Avaliar a função em todos os candidatos (pontos críticos internos e endpoints).
  4. Comparar os valores obtidos — o menor valor será o mínimo absoluto no intervalo, o maior será o máximo absoluto.
    Este é um método padrão e prático para funções reais em intervalos fechados.

Passo 3

Calcular a derivada de y=x^{2} e explicar o porquê:
  • Regra do expoente (regra do poder): para uma função \,f(x)=x^{n}\, com n número real, a derivada é \,f'(x)=n x^{n-1}\,. Aqui n=2.
  • Podemos também obter a derivada pela definição limite para entender por que funciona:
f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h} =\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^{2}}{h} =\lim_{h\to0}(2x+h)=2x.
Portanto, a derivada é \,f'(x)=2x\,. Aqui \,f'(x) representa a taxa de variação instantânea de f em x.

Passo 4

Encontrar pontos críticos internos:
  • Pontos críticos ocorrem onde \,f'(x)=0\, ou onde \,f'(x) não existe.
  • Como \,f'(x)=2x\, existe para todo x, basta resolver
2x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
  • O ponto x=0 é um ponto crítico. Note que x=0 também é um endpoint do intervalo D=[0,2]. Não há outros pontos críticos em (0,2).

Passo 5

Listar todos os candidatos a extremos e avaliar a função neles:
  • Candidatos: ponto crítico interno x=0 (que é também endpoint) e o outro endpoint x=2.
  • Avaliar f nesses pontos:
f(0)=0^{2}=0, \qquad f(2)=2^{2}=4.

Passo 6

Comparar os valores encontrados para decidir extremos:
  • Dos valores avaliados, \,f(0)=0\, e \,f(2)=4\,.
  • O menor valor entre os candidatos é \,0\, em x=0; o maior é \,4\, em x=2.
    Observação adicional (intuição útil para prova): como \,f'(x)=2x\ge0\, para x\in[0,2] e estritamente positiva para x>0, a função é crescente no intervalo [0,2]. Uma função crescente em um intervalo fechado atinge seu mínimo no endpoint esquerdo e o máximo no endpoint direito, o que confirma o resultado acima.

Resposta

Mínimo absoluto: em x=0, com valor y=0.
Máximo absoluto: em x=2, com valor y=4.

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