Determine os extremos absolutos da função
nos intervalos definidos
Passo 1
O enunciado dá a função
e o domínio
. O que a questão pede é: determinar os extremos absolutos da função nesse intervalo — ou seja, encontrar os pontos em
onde
atinge seu menor valor absoluto (mínimo global no intervalo) e seu maior valor absoluto (máximo global no intervalo), junto com os valores de
nesses pontos. Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O domínio considerado é o intervalo fechado
. - Não há outras restrições ou dados adicionais.
Passo 2
Plano de ataque (passo a passo que geralmente funciona em prova):
- Encontrar os pontos críticos internos: pontos em
onde a derivada existe e é zero, ou onde a derivada não existe. Esses são candidatos a extremos internos. - Considerar também os extremos possíveis nos extremos do intervalo (os endpoints)
e . - Avaliar a função em todos os candidatos (pontos críticos internos e endpoints).
- Comparar os valores obtidos — o menor valor será o mínimo absoluto no intervalo, o maior será o máximo absoluto.
Este é um método padrão e prático para funções reais em intervalos fechados.
Passo 3
Calcular a derivada de
e explicar o porquê:
- Regra do expoente (regra do poder): para uma função
com número real, a derivada é . Aqui . - Podemos também obter a derivada pela definição limite para entender por que funciona:
Portanto, a derivada é
. Aqui
representa a taxa de variação instantânea de
em
.
Passo 4
Encontrar pontos críticos internos:
- Pontos críticos ocorrem onde
ou onde não existe. - Como
existe para todo , basta resolver
- O ponto
é um ponto crítico. Note que também é um endpoint do intervalo . Não há outros pontos críticos em .
Passo 5
Listar todos os candidatos a extremos e avaliar a função neles:
- Candidatos: ponto crítico interno
(que é também endpoint) e o outro endpoint . - Avaliar
nesses pontos:
Passo 6
Comparar os valores encontrados para decidir extremos:
- Dos valores avaliados,
e . - O menor valor entre os candidatos é
em ; o maior é em .
Observação adicional (intuição útil para prova): comopara e estritamente positiva para , a função é crescente no intervalo . Uma função crescente em um intervalo fechado atinge seu mínimo no endpoint esquerdo e o máximo no endpoint direito, o que confirma o resultado acima.
Resposta
Mínimo absoluto: em
, com valor
.
Máximo absoluto: em , com valor
.
Máximo absoluto: em