Determine os extremos de f(x, y)=1+x^2+y^2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender a questão. Queremos encontrar os extremos da função $ f(x, y) = 1 + x^{2} + y^{2} $. Extremos podem ser pontos onde a função atinge valores máximos ou mínimos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a localização de pontos críticos usando derivadas parciais.

Passo 2

Vamos começar encontrando os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a todas as variáveis são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $ e igualá-las a zero.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
f
Igualando a zero:
x

Passo 4

Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
f
Igualando a zero:
y

Passo 5

Encontramos que o único ponto crítico é $ (0, 0) $. Agora, precisamos determinar se esse ponto é um mínimo, máximo ou um ponto de sela. Para isso, usamos o Teste da Segunda Derivada para funções de duas variáveis.

Passo 6

Calculamos as segundas derivadas parciais:
partial^2 fpartial x^2 = 2, partial^2 fpartial y^2 = 2, partial^2 fpartial x partial y = 0
Agora, calculamos o determinante da matriz hessiana:
D = ( partial^2 fpartial x^2 ) ( partial^2 fpartial y^2 ) - ( partial^2 fpartial x partial y )^2 = (2)(2) - (0)^2 = 4
Como $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} > 0 $, o ponto $ (0, 0) $ é um mínimo local.

Passo 7

Observando a função $ f(x, y) = 1 + x^{2} + y^{2} $, percebemos que os termos $ x^{2} $ e $ y^{2} $ são sempre positivos ou zero. Isso significa que a função nunca diminui abaixo de 1 e aumenta indefinidamente conforme $ x $ ou $ y $ crescem. Portanto, o ponto $ (0, 0) $ é também o mínimo global da função, e não existe um máximo.

Resposta

A função $ f(x, y) = 1 + x^{2} + y^{2} $ atinge seu mínimo global no ponto $ (0, 0) $ com valor mínimo igual a 1. Não existem máximos para essa função.

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