Determine os extremos de
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Passo 1
Primeiro, vamos entender a questão. Queremos encontrar os extremos da função $ f(x, y) = 1 + x^{2} + y^{2} $. Extremos podem ser pontos onde a função atinge valores máximos ou mínimos. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a localização de pontos críticos usando derivadas parciais.
Passo 2
Vamos começar encontrando os pontos críticos da função. Pontos críticos são onde as derivadas parciais da função em relação a todas as variáveis são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular $ \frac{\partial f}{\partial x} $ e $ \frac{\partial f}{\partial y} $ e igualá-las a zero.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
Igualando a zero:
Passo 4
Calculando a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Igualando a zero:
Passo 5
Encontramos que o único ponto crítico é $ (0, 0) $. Agora, precisamos determinar se esse ponto é um mínimo, máximo ou um ponto de sela. Para isso, usamos o Teste da Segunda Derivada para funções de duas variáveis.
Passo 6
Calculamos as segundas derivadas parciais:
Agora, calculamos o determinante da matriz hessiana:
Como $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} > 0 $, o ponto $ (0, 0) $ é um mínimo local.
Passo 7
Observando a função $ f(x, y) = 1 + x^{2} + y^{2} $, percebemos que os termos $ x^{2} $ e $ y^{2} $ são sempre positivos ou zero. Isso significa que a função nunca diminui abaixo de 1 e aumenta indefinidamente conforme $ x $ ou $ y $ crescem. Portanto, o ponto $ (0, 0) $ é também o mínimo global da função, e não existe um máximo.
Resposta
A função $ f(x, y) = 1 + x^{2} + y^{2} $ atinge seu mínimo global no ponto $ (0, 0) $ com valor mínimo igual a 1. Não existem máximos para essa função.