Resolva a EDO abaixo aplicando a Transformada de Laplace em cada membro
y^prime prime+4 y=f(t), em que f(t)=ll1, & 0 <= t<1 0, & t >= 1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y'' + 4y = f(t), onde f(t)=1 em 0<= t<1 e zero depois, usando Transformada de Laplace. O conteúdo aqui envolve: transformadas de derivadas, transformada de funções por partes (função degrau) e teorema do deslocamento no tempo. Vamos assumir condições iniciais nulas y(0)=0, y'(0)=0, já que não foram dadas.

Passo 2

Vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da EDO. Usando Ly''=s^2Y(s)-s y(0)-y'(0) e Ly=Y(s), com condições iniciais nulas obtemos: s^2Y(s)+4Y(s)= Lf(t)

Passo 3

Precisamos agora da transformada de f(t). Note que f(t)=1 para 0<= t<1 e 0 depois equivale a u(t)-u(t-1). Então
Lf(t)= L1- Lu(t-1)=1s - e^-ss

Passo 4

Substituindo em s^2Y+4Y e resolvendo para Y(s) temos:
Y(s)=1s - e^-sss^2+4=1s(s^2+4) - e^-s1s(s^2+4)

Passo 5

Para inverter a transformada, primeiro fazemos frações parciais em 1/[s(s^2+4)]. Procuramos A,B,C tais que
1s(s^2+4)=As+Bs+Cs^2+4

Passo 6

Iguais numeradores: 1=A(s^2+4)+(Bs+C)s. Logo, comparando coeficientes: A+B=0, C=0 e 4A=1. Assim A=1/4, B=-1/4, C=0. Então
1s(s^2+4)=1/4s-(1/4)ss^2+4

Passo 7

Sabendo que L^-11/s=1 e L^-1s/(s^2+4)=cos(2t), definimos h(t)=14 - 14cos(2t). Assim
L^-1l1s(s^2+4)r=h(t), L^-1le^-s1s(s^2+4)r=u(t-1),h(t-1)

Passo 8

Por fim, juntamos as duas partes:
y(t)=h(t)-u(t-1),h(t-1)=l(tfrac14 - tfrac14cos(2t)r)-u(t-1)l(tfrac14 - tfrac14cos[2(t-1)]r)

Resposta

y(t)=14l[1-cos(2t)r]-u(t-1),14l[1-cosl(2(t-1)r)r]

Exercícios relacionados