Resolva a EDO abaixo aplicando a Transformada de Laplace em cada membro
, em que
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO
, onde
em
e zero depois, usando Transformada de Laplace. O conteúdo aqui envolve: transformadas de derivadas, transformada de funções por partes (função degrau) e teorema do deslocamento no tempo. Vamos assumir condições iniciais nulas
, já que não foram dadas.
Passo 2
Vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada termo da EDO. Usando
e
, com condições iniciais nulas obtemos:
Passo 3
Precisamos agora da transformada de
. Note que
para
e 0 depois equivale a
. Então
Passo 4
Substituindo em
e resolvendo para
temos:
Passo 5
Para inverter a transformada, primeiro fazemos frações parciais em
. Procuramos
tais que
Passo 6
Iguais numeradores:
. Logo, comparando coeficientes:
,
e
. Assim
,
,
. Então
Passo 7
Sabendo que
e
, definimos
. Assim
Passo 8
Por fim, juntamos as duas partes: