Use a definição de série de Taylor para encontrar os primeiros quatro termos não nulos da série para f(x) centrada no valor dado de a.
f(x)=11+x, a=2

Passo 1

O exercício pede a expansão em série de Taylor de f(x)=11+x centrada em a=2. Vamos usar conceitos de série de Taylor e a relação com a série geométrica.

Passo 2

Para simplificar a expansão, definimos h = x - 2. Então temos
f(2+h) = 11 + (2+h) = 13 + h = 13 cdot 11 + h3

Passo 3

Sabendo que para lvert urvert < 1 vale a série geométrica
11+u = sumn=0^infty (-1)^n u^n,
aplicamos com u = tfrach3 e obtemos
f(2+h) = 13 sumn=0^infty (-1)^n l(h3r)^n = sumn=0^infty (-1)^n h^n3^n+1

Passo 4

Reescrevendo em função de x, ou seja, h = x-2, o termo geral da série fica
(-1)^n (x-2)^n3^n+1

Passo 5

Para obter os quatro primeiros termos não nulos, tomamos n=0,1,2,3 e escrevemos
13, -x-29, (x-2)^227, -(x-2)^381

Resposta

f(x)=13-x-29+(x-2)^227-(x-2)^381+dots

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