Determine os extremos
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos os extremos da função $ f(x, y) = 6x - 4x - x^{2} - 2y^{2} $. Primeiro, simplificamos a função:
O conteúdo aqui é de cálculo multivariável, especificamente a busca por máximos e mínimos de funções de duas variáveis. Para isso, vamos precisar usar derivadas parciais e analisar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a $ x $ e $ y $. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda em cada direção individualmente.
A derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $ é:
E a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $ é:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos cada derivada parcial a zero e resolvemos o sistema de equações:
Resolvendo a primeira equação:
E a segunda equação:
Então, o ponto crítico é $ (1, 0) $.
Passo 4
Para determinar se esse ponto é um máximo, mínimo ou ponto de sela, usamos a segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
Então, o discriminante $ D $ é:
Passo 5
Analisando o discriminante:
- Se $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} < 0 $, temos um ponto de máximo local.
- Se $ D > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} > 0 $, temos um ponto de mínimo local.
- Se $ D < 0 $, é um ponto de sela.
- Se $ D = 0 $, o teste é inconclusivo.
No nosso caso, $ D = 8 > 0 $ e $ \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} = -2 < 0 $. Portanto, o ponto $ (1, 0) $ é um ponto de máximo local.
Resposta
O ponto $ (1, 0) $ é um ponto de máximo local para a função $ f(x, y) = 2x - x^{2} - 2y^{2} $.