Determine os extremos e faça o gráfico de f.
1 f(x)=\frac{2 x-5}{x+3}

Passo 1

O enunciado dá a função racional f(x)=\dfrac{2x-5}{x+3} e pede duas coisas: (a) determinar os extremos de f (máximos e mínimos, locais ou globais) e (b) fazer o gráfico de f. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a expressão algébrica de f e que o denominador anula-se em x=-3 (logo x=-3 não pertence ao domínio).

Passo 2

Vamos começar identificando o domínio. O domínio são todos os x tais que o denominador não é zero. Assim,
\text{dom}(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x+3\neq0\}=\mathbb{R}\setminus\{-3\}.
Anote: x=-3 é uma possível assíntota vertical (porque o valor da função explode aí), mas vamos confirmar com limites mais adiante.

Passo 3

Para estudar extremos precisamos do sinal da derivada. Usamos a regra do quociente para derivar f. A regra do quociente diz: se g(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)} com v(x)\neq0, então
g'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2},
onde u'(x) e v'(x) são as derivadas de u e v. Aqui u(x)=2x-5 e v(x)=x+3. Então u'(x)=2 e v'(x)=1.

Passo 4

Aplicando a fórmula:
f'(x)=\frac{2\,(x+3)-(2x-5)\cdot 1}{(x+3)^2}=\frac{2x+6-2x+5}{(x+3)^2}=\frac{11}{(x+3)^2}.
Expliquei passo a passo: calculei 2(x+3), subtrai 2x-5, e coloquei sobre (x+3)^2.

Passo 5

Analise do sinal de f'. Observa que (x+3)^2>0 para todo x\neq-3. O numerador é 11>0. Logo
f'(x)>0\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}\setminus\{-3\}.
Isto significa que f é estritamente crescente em cada intervalo do domínio: em (-\infty,-3) e em (-3,\infty). Como a derivada nunca muda de sinal (sempre positiva onde existe) e x=-3 não pertence ao domínio, não existem pontos críticos onde a derivada se anule. Portanto não há extremos locais (nem máximos nem mínimos) dentro do domínio.

Passo 6

Conclusão sobre extremos: não há máximos nem mínimos locais nem globais em \text{dom}(f) — a função é crescente em cada componente do domínio, mas em cada componente ela tende a infinito ou a uma assíntota, portanto não atinge extremos finitos.

Passo 7

Agora vamos estudar assíntotas e comportamento para desenhar o gráfico. Primeiro reescrevemos f de forma útil:
f(x)=\frac{2x-5}{x+3}=2+\frac{-11}{x+3}=2-\frac{11}{x+3}.
Dessa forma fica claro que existe uma assíntota horizontal (ou comportamento assintótico) em y=2, pois
\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=2.

Passo 8

Assíntota vertical e comportamentos laterais em x=-3. Como o denominador zera em x=-3 e o numerador em x=-3 é -11\neq0, há assíntota vertical em x=-3. Os limites laterais confirmam:
\lim_{x\to-3^-}f(x)=\lim_{x\to-3^-}\left(2-\frac{11}{x+3}\right)=+\infty,
\lim_{x\to-3^+}f(x)=\lim_{x\to-3^+}\left(2-\frac{11}{x+3}\right)=-\infty.
Portanto a função sobe para +\infty à esquerda de -3 e desce para -\infty à direita de -3.

Passo 9

Calcule interceptos e alguns pontos úteis para esboçar. Raiz (interseção com eixo x) obtida por 2x-5=0\Rightarrow x=\tfrac{5}{2}. Então ponto x-intercepto é \left(\tfrac{5}{2},0\right). Interseção com eixo y é f(0)=\dfrac{-5}{3}=-\tfrac{5}{3}, ponto \left(0,-\tfrac{5}{3}\right). Valores auxiliares: f(-6)=\dfrac{2(-6)-5}{-6+3}=\dfrac{-17}{-3}=\tfrac{17}{3}\approx5{,}67; f(-2)=\dfrac{-4-5}{1}=-9; f(1)=\dfrac{-3}{4}=-0{,}75. Esses pontos ajudam no esboço.

Passo 10

Como desenhar o gráfico (descrição do esboço):
  • Trace a assíntota vertical x=-3 e a assíntota horizontal y=2.
  • No ramo esquerdo x<-3: a função é crescente, sai de f(-\infty)=2^+ (próximo de 2 por cima) e sobe até +\infty quando x\to-3^-. Use o ponto (-6,\tfrac{17}{3}) e note que o ramo fica sempre acima de y=2 (veja a forma f=2-11/(x+3) com x+3<0).
  • No ramo direito x>-3: a função é crescente, sai de -\infty quando x\to-3^+ e sobe aproximando-se de 2 por baixo quando x\to+\infty. Use pontos (-2,-9), (0,-\tfrac{5}{3}) e (\tfrac{5}{2},0) para posicionar o ramo (ele fica sempre abaixo de y=2 para x>-3).
  • O gráfico tem duas curvas hiperbólicas (dois ramos), cada uma em sua componente do domínio, aproximando-se das assíntotas descritas.

Resposta

Extremos: Não existem extremos (nenhum máximo nem mínimo) em \text{dom}(f)=\mathbb{R}\setminus\{-3\}.\nGráfico: assíntota vertical x=-3; assíntota horizontal y=2; interceptos \left(\tfrac{5}{2},0\right) e \left(0,-\tfrac{5}{3}\right); função crescente em (-\infty,-3) (vai de 2^+ até +\infty) e crescente em (-3,\infty) (vai de -\infty até 2^-); ramos descritos conforme o esboço no Passo 10.

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