Determine os extremos e faça o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado dá a função racional
e pede duas coisas: (a) determinar os extremos de
(máximos e mínimos, locais ou globais) e (b) fazer o gráfico de
. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a expressão algébrica de
e que o denominador anula-se em
(logo
não pertence ao domínio).
Passo 2
Vamos começar identificando o domínio. O domínio são todos os
tais que o denominador não é zero. Assim,
Anote:
é uma possível assíntota vertical (porque o valor da função explode aí), mas vamos confirmar com limites mais adiante.
Passo 3
Para estudar extremos precisamos do sinal da derivada. Usamos a regra do quociente para derivar
. A regra do quociente diz: se
com
, então
onde
e
são as derivadas de
e
. Aqui
e
. Então
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula:
Expliquei passo a passo: calculei
, subtrai
, e coloquei sobre
.
Passo 5
Analise do sinal de
. Observa que
para todo
. O numerador é
. Logo
Isto significa que
é estritamente crescente em cada intervalo do domínio: em
e em
. Como a derivada nunca muda de sinal (sempre positiva onde existe) e
não pertence ao domínio, não existem pontos críticos onde a derivada se anule. Portanto não há extremos locais (nem máximos nem mínimos) dentro do domínio.
Passo 6
Conclusão sobre extremos: não há máximos nem mínimos locais nem globais em
— a função é crescente em cada componente do domínio, mas em cada componente ela tende a infinito ou a uma assíntota, portanto não atinge extremos finitos.
Passo 7
Agora vamos estudar assíntotas e comportamento para desenhar o gráfico. Primeiro reescrevemos
de forma útil:
Dessa forma fica claro que existe uma assíntota horizontal (ou comportamento assintótico) em
, pois
Passo 8
Assíntota vertical e comportamentos laterais em
. Como o denominador zera em
e o numerador em
é
, há assíntota vertical em
. Os limites laterais confirmam:
Portanto a função sobe para
à esquerda de
e desce para
à direita de
.
Passo 9
Calcule interceptos e alguns pontos úteis para esboçar. Raiz (interseção com eixo
) obtida por
. Então ponto
-intercepto é
. Interseção com eixo
é
, ponto
. Valores auxiliares:
;
;
. Esses pontos ajudam no esboço.
Passo 10
Como desenhar o gráfico (descrição do esboço):
- Trace a assíntota vertical
e a assíntota horizontal . - No ramo esquerdo
: a função é crescente, sai de (próximo de 2 por cima) e sobe até quando . Use o ponto e note que o ramo fica sempre acima de (veja a forma com ). - No ramo direito
: a função é crescente, sai de quando e sobe aproximando-se de por baixo quando . Use pontos , e para posicionar o ramo (ele fica sempre abaixo de para ). - O gráfico tem duas curvas hiperbólicas (dois ramos), cada uma em sua componente do domínio, aproximando-se das assíntotas descritas.
Resposta
Extremos: Não existem extremos (nenhum máximo nem mínimo) em
.\nGráfico: assíntota vertical
; assíntota horizontal
; interceptos
e
; função crescente em
(vai de
até
) e crescente em
(vai de
até
); ramos descritos conforme o esboço no Passo 10.