Resolva as integrais a seguir:
a) \int \frac{4}{x^{2}(x+1)} \cdot d x (frações parciais)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{4}{x^{2}(x+1)}\,dx.
Informações dadas importantes:
  • A função integranda é uma função racional com denominador \,x^{2}(x+1)\,.
  • Há singularidades em x=0 e x=-1 (ou seja, o domínio exclui esses pontos).
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), portanto a resposta deve conter a constante de integração C.
    Não vou resolver nada ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Escolhemos decompor a fração em frações parciais porque o integrando é uma fração racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador e o denominador é produto de fatores lineares (com repetição em x). Para decomposição em frações parciais, quando temos um fator x^2 repetido usamos termos \dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x^2} e para x+1 usamos \dfrac{C}{x+1}. Assim propomos a identidade
\frac{4}{x^{2}(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{C}{x+1},
onde A,B,C são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da identidade por x^{2}(x+1) para eliminar denominadores; isso gera uma igualdade polinomial:
4 = A\cdot x(x+1) + B\cdot (x+1) + C\cdot x^{2}.
Agora expandimos e agrupamos termos em potências de x:
A x(x+1)=A x^{2}+A x, \qquad B(x+1)=B x + B, \qquad C x^{2}=C x^{2}.
Somando:
4 = (A+C)x^{2} + (A+B)x + B.
Como a igualdade vale para todo x, igualamos coeficientes dos polinômios para obter um sistema:
coeficiente de x^{2}: \,A+C=0,
coeficiente de x: \,A+B=0,
termo constante: \,B=4.

Passo 4

Resolvendo o sistema: de B=4 vem B=4. De A+B=0 segue A=-B=-4. De A+C=0 segue C=-A=4. Portanto
A=-4,\quad B=4,\quad C=4.
Substituindo na decomposição inicial obtemos a decomposição em frações parciais:
\frac{4}{x^{2}(x+1)} = -\frac{4}{x} + \frac{4}{x^{2}} + \frac{4}{x+1}.
Também posso fatorar 4 se preferir:
\frac{4}{x^{2}(x+1)} = 4\!\left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x+1}\right).

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Lembrete rápido de integrais básicas que uso aqui:
  • \displaystyle \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C porque a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x}.
  • \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C para n\neq -1. No caso x^{-2}, temos \int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}+C.
  • Para \dfrac{1}{x+1} usamos mudança óbvia: \int \dfrac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1|+C.
Integrais dos termos (separadamente):
\int \left(-\frac{4}{x}\right)\,dx = -4\ln|x| + C_1,
\int \frac{4}{x^{2}}\,dx = 4\int x^{-2}\,dx = 4\cdot(-x^{-1}) = -\frac{4}{x} + C_2,
\int \frac{4}{x+1}\,dx = 4\ln|x+1| + C_3.
Cada C_i é uma constante de integração; ao somar os termos, juntamos essas constantes em uma única constante C.

Passo 6

Juntando as primitivas dos três termos (e combinando as constantes em uma só C), a primitiva geral da função é obtida somando as três expressões calculadas acima. Também explico por que colocamos valores absolutos nos logaritmos: \ln|x| e \ln|x+1| aparecem porque \dfrac{1}{x} e \dfrac{1}{x+1} podem ter argumentos negativos; a primitiva válida em cada intervalo do domínio leva em conta o valor absoluto.

Resposta

-4\ln|x|-\frac{4}{x}+4\ln|x+1|+C

Exercícios relacionados