Resolva as integrais a seguir:
a)
(frações parciais)
a)
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas importantes:
- A função integranda é uma função racional com denominador
. - Há singularidades em
e (ou seja, o domínio exclui esses pontos). - Queremos uma primitiva (integral indefinida), portanto a resposta deve conter a constante de integração
.
Não vou resolver nada ainda; só identifiquei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Escolhemos decompor a fração em frações parciais porque o integrando é uma fração racional cujo grau do numerador é menor que o grau do denominador e o denominador é produto de fatores lineares (com repetição em
). Para decomposição em frações parciais, quando temos um fator
repetido usamos termos
e para
usamos
. Assim propomos a identidade
onde
são constantes a determinar.
Passo 3
Multiplicamos ambos os lados da identidade por
para eliminar denominadores; isso gera uma igualdade polinomial:
Agora expandimos e agrupamos termos em potências de
:
Somando:
Como a igualdade vale para todo
, igualamos coeficientes dos polinômios para obter um sistema:
coeficiente de :
coeficiente de :
termo constante:
coeficiente de
coeficiente de
termo constante:
Passo 4
Resolvendo o sistema: de
vem
. De
segue
. De
segue
. Portanto
Substituindo na decomposição inicial obtemos a decomposição em frações parciais:
Também posso fatorar
se preferir:
Passo 5
Agora integramos termo a termo. Lembrete rápido de integrais básicas que uso aqui:
-
porque a derivada de é . -
para . No caso , temos . - Para
usamos mudança óbvia: .
Integrais dos termos (separadamente):
Cada
é uma constante de integração; ao somar os termos, juntamos essas constantes em uma única constante
.
Passo 6
Juntando as primitivas dos três termos (e combinando as constantes em uma só
), a primitiva geral da função é obtida somando as três expressões calculadas acima. Também explico por que colocamos valores absolutos nos logaritmos:
e
aparecem porque
e
podem ter argumentos negativos; a primitiva válida em cada intervalo do domínio leva em conta o valor absoluto.