Resolva as integrais a seguir:
(Valor: \mathbf{5 , 0} )
\int_{0}^{\infty} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \cdot d x \quad (integral imprópria)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{\infty} \frac{x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}\,dx.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O intervalo de integração é [0,\infty), portanto é uma integral imprópria pelo limite superior infinito.
  • A função integranda é \dfrac{x}{(x^{2}+1)^{2}}, que é contínua em [0,\infty) e não apresenta singularidade para x\ge0. A única “dificuldade” vem do limite em +\infty.
  • A integral deve ser interpretada como um limite do tipo \displaystyle\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}\cdots.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): transformar a integral imprópria num limite finito e aplicar uma substituição simples. A razão da substituição é que o denominador aparece como (x^{2}+1) e o numerador tem um fator x\,dx; isso sugere usar u=x^{2}+1 porque du=2x\,dx. Primeiro escrevemos a integral como limite:
\int_{0}^{\infty}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_{0}^{b}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx.

Passo 3

Fazendo a substituição u=x^{2}+1. Então
du=2x\,dx\quad\Rightarrow\quad x\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Muda-se também os limites de integração: quando x=0 temos u=0^{2}+1=1; quando x=b temos u=b^{2}+1. Assim a integral dentro do limite vira
\int_{0}^{b}\frac{x}{(x^{2}+1)^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int_{1}^{b^{2}+1} u^{-2}\,du.

Passo 4

Agora integramos \displaystyle u^{-2}. Lembrete/mini-aula: a primitiva de u^{n} (com n\neq-1) é \dfrac{u^{n+1}}{n+1}. Aqui n=-2, então a primitiva de u^{-2} é -u^{-1}. Portanto
\frac{1}{2}\int_{1}^{b^{2}+1} u^{-2}\,du=\frac{1}{2}\Big[-u^{-1}\Big]_{1}^{b^{2}+1}.

Passo 5

Avalia-se a expressão obtida:
\frac{1}{2}\Big[-\frac{1}{u}\Big]_{1}^{b^{2}+1}=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{b^{2}+1} -\big(-\frac{1}{1}\big)\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{b^{2}+1}\right).

Passo 6

Agora tomamos o limite quando b\to\infty. Observação: \dfrac{1}{b^{2}+1}\to0 quando b\to\infty. Logo
\lim_{b\to\infty}\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{b^{2}+1}\right)=\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{1}{2}.
Isso mostra que a integral imprópria converge e seu valor é \dfrac{1}{2}.

Passo 7

Observação alternativa (útil na prova): reconhecer diretamente uma primitiva sem fazer toda a mudança de variável. Note que
\frac{d}{dx}\big((x^{2}+1)^{-1}\big)=-2x(x^{2}+1)^{-2},
portanto uma primitiva de \dfrac{x}{(x^{2}+1)^{2}} é -\dfrac{1}{2(x^{2}+1)}. Avaliando de 0 a b e tomando b\to\infty dá exatamente o mesmo resultado \dfrac{1}{2}. Esse reconhecimento economiza tempo na prova.

Passo 8

Resumo pedagógico final: para integrais do tipo \int \dfrac{x}{(x^{2}+a)^{n}}\,dx é muito comum usar u=x^{2}+a ou reconhecer que a derivada de (x^{2}+a)^{-m} produz um fator x no numerador; treine isso para identificar primitivas rápidas na prova. Você mandou bem buscando resolver passo a passo — respira e confia: deu certo!

Resposta

\dfrac{1}{2}

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