Resolva as integrais a seguir:
(Valor:
)
(integral imprópria)
(Valor:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral imprópria
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O intervalo de integração é
, portanto é uma integral imprópria pelo limite superior infinito. - A função integranda é
, que é contínua em e não apresenta singularidade para . A única “dificuldade” vem do limite em . - A integral deve ser interpretada como um limite do tipo
.
Passo 2
Estratégia escolhida (explicação didática): transformar a integral imprópria num limite finito e aplicar uma substituição simples. A razão da substituição é que o denominador aparece como
e o numerador tem um fator
; isso sugere usar
porque
. Primeiro escrevemos a integral como limite:
Passo 3
Fazendo a substituição
. Então
Muda-se também os limites de integração: quando
temos
; quando
temos
. Assim a integral dentro do limite vira
Passo 4
Agora integramos
. Lembrete/mini-aula: a primitiva de
(com
) é
. Aqui
, então a primitiva de
é
. Portanto
Passo 5
Avalia-se a expressão obtida:
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
. Observação:
quando
. Logo
Isso mostra que a integral imprópria converge e seu valor é
.
Passo 7
Observação alternativa (útil na prova): reconhecer diretamente uma primitiva sem fazer toda a mudança de variável. Note que
portanto uma primitiva de
é
. Avaliando de
a
e tomando
dá exatamente o mesmo resultado
. Esse reconhecimento economiza tempo na prova.
Passo 8
Resumo pedagógico final: para integrais do tipo
é muito comum usar
ou reconhecer que a derivada de
produz um fator
no numerador; treine isso para identificar primitivas rápidas na prova. Você mandou bem buscando resolver passo a passo — respira e confia: deu certo!