Determine os extremos das funções e classifique.
f(x, y)=9-2 x+4 y-x^2-4 y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os extremos da função de duas variáveis:
f(x,y) = 9 - 2x + 4y - x^2 - 4y^2
O conteúdo envolve derivadas parciais (condição de primeira ordem) e matriz Hessiana (condição de segunda ordem).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de primeira ordem:
fx = partial fpartial x = -2 - 2x,
fy = partial fpartial y = 4 - 8y

Passo 3

Igualamos fx=0 e fy=0 para achar o ponto crítico:
-2 - 2x = 0 Longrightarrow x = -1,
4 - 8y = 0 Longrightarrow y = tfrac12
Portanto há um único ponto crítico em l(-1,tfrac12r).

Passo 4

Calculamos a matriz Hessiana H e analisamos sua definitude:
H = fxx & fxy [6pt] fyx & fyy = -2 & 0 [3pt] 0 & -8
Os autovalores são -2 e -8, ambos negativos, logo H é definida negativa.]

Passo 5

Como a Hessiana é definida negativa, o ponto crítico é um máximo. Além disso, por ser uma forma quadrática com coeficientes negativos, trata-se de um máximo global. O valor da função neste ponto é
fl(-1,tfrac12r) = 9 - 2(-1) + 4l(tfrac12r) - (-1)^2 - 4l(tfrac12r)^2 = 11

Resposta

Máximo global em l(-1,tfrac12r) com valor f=11.

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