A função f dada abaixo é diferenciável em (0,0) ? Justifique sua resposta:
(a) f(x, y)=rllx^2-y^2x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)\

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx^2-y^2x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0), 0,&se (x,y)=(0,0)
e pede para verificar se ela é diferenciável em (0,0).
Lembrando que, para uma função de duas variáveis ser diferenciável em um ponto, ela tem que ser contínua nesse ponto. Se mostrarmos que ela nem sequer é contínua em (0,0), já podemos concluir que não é diferenciável.

Passo 2

Vamos analisar o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) por dois caminhos simples:
  • Ao longo do eixo x, ou seja (x,0)to(0,0):
f(x,0)=x^2-0x^2+0=1,
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limxto0f(x,0)=1
  • Ao longo do eixo y, ou seja (0,y)to(0,0):
f(0,y)=0-y^20+y^2=-1,
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limyto0f(0,y)=-1

Passo 3

Como os dois limites são diferentes ( 1neq-1), o limite de f(x,y) quando (x,y)to(0,0) não existe. Isso mostra que f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função f não é diferenciável em (0,0), porque não é contínua nesse ponto.

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