O objetivo é determinar para quais pontos de R^2 essa função é diferenciável. Vamos usar dois resultados básicos:
A composição de funções diferenciáveis é diferenciável.
Funções constantes são diferenciáveis em todo o seu domínio.
Em seguida, verificamos o comportamento na fronteira x^2+y^2=1.
Passo 2
Considere (x,y) tal que x^2+y^2<1. Nesse caso
f(x,y)=raizx^2+y^2+1
é a composição da função (x,y)mapsto x^2+y^2+1 (que é polinomial, logo diferenciável) com a função tmapstoraizt (diferenciável para t>0). Como para x^2+y^2<1 temos x^2+y^2+1>0, conclui-se que f é diferenciável em todo o disco aberto
(x,y)mid x^2+y^2<1
Passo 3
Considere agora (x,y) tal que x^2+y^2>1. Nesse caso f(x,y)=0, ou seja, f é a função constante zero nessa região. Toda função constante é diferenciável em todos os pontos do seu domínio, logo f é diferenciável em
(x,y)mid x^2+y^2>1
Passo 4
Resta analisar a fronteira (x,y)mid x^2+y^2=1. Se (x,y) está nessa fronteira, então
– o valor de f no ponto é f(x,y)=0,
– mas o limite vindo do interior do disco aberto é