Determine a região de R^2 onde a função f dada é diferenciável:
(f) f(x, y)= raizx^2+y^2+1, & se x^2+y^2<1 0, & se x^2+y^2 >= 1\

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= raizx^2+y^2+1,&se x^2+y^2<1, 0,&se x^2+y^2>=1
O objetivo é determinar para quais pontos de R^2 essa função é diferenciável. Vamos usar dois resultados básicos:
  1. A composição de funções diferenciáveis é diferenciável.
  2. Funções constantes são diferenciáveis em todo o seu domínio.
    Em seguida, verificamos o comportamento na fronteira x^2+y^2=1.

Passo 2

Considere (x,y) tal que x^2+y^2<1. Nesse caso
f(x,y)=raizx^2+y^2+1
é a composição da função (x,y)mapsto x^2+y^2+1 (que é polinomial, logo diferenciável) com a função tmapstoraizt (diferenciável para t>0). Como para x^2+y^2<1 temos x^2+y^2+1>0, conclui-se que f é diferenciável em todo o disco aberto
(x,y)mid x^2+y^2<1

Passo 3

Considere agora (x,y) tal que x^2+y^2>1. Nesse caso f(x,y)=0, ou seja, f é a função constante zero nessa região. Toda função constante é diferenciável em todos os pontos do seu domínio, logo f é diferenciável em
(x,y)mid x^2+y^2>1

Passo 4

Resta analisar a fronteira (x,y)mid x^2+y^2=1. Se (x,y) está nessa fronteira, então
– o valor de f no ponto é f(x,y)=0,
– mas o limite vindo do interior do disco aberto é
lim(u,v)to(x,y),;u^2+v^2<1f(u,v) =lim(u,v)to(x,y)raizu^2+v^2+1 =raiz1+1=raiz2neq0
Portanto f não é sequer contínua em nenhum ponto de x^2+y^2=1, e assim não pode ser diferenciável ali.

Resposta

A função f é diferenciável exatamente nos pontos onde
x^2+y^2<1 e nos pontos onde x^2+y^2>1,
isto é, em
(x,y)inR^2mid x^2+y^2neq1

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