Determine os extremos relativos da função
f(x)=x^33-5 x^22+6 x

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a gente precisa fazer aqui. Temos uma função $ f(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{5x^{2}}{2} + 6x $ e precisamos encontrar os seus extremos relativos, que são os pontos onde a função atinge valores máximos ou mínimos. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender como a função está crescendo ou decrescendo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada nos mostra a inclinação da função em cada ponto, ou seja, como a função está mudando naquele instante. Para derivar $ f(x) $, usamos as regras de derivação para cada termo:
f(x)
Calculando cada derivada:
f(x)

Passo 3

Agora que temos a derivada $ f’(x) = x^{2} - 5x + 6 $, vamos encontrar os pontos críticos. São os valores de $ x $ onde a derivada é igual a zero ou não existe. Neste caso, a derivada existe para todo $ x $, então basta resolver a equação:
f'(x) = x^2 - 5x + 6
Resolvendo essa equação quadrática, podemos fatorar:
x
Assim, as soluções são:
x

Passo 4

Com os pontos críticos $ x = 2 $ e $ x = 3 $, precisamos determinar se cada um deles é um máximo, mínimo ou nenhum dos dois. Para isso, podemos usar a segunda derivada da função, que nos ajuda a saber a concavidade da função nesses pontos.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
x = 2
Agora, avaliamos a segunda derivada nos pontos críticos:
  1. Para $ x = 2 $:
    x = 3
    Como $ f’’(2) < 0 $, a concavidade é para baixo e, portanto, $ x = 2 $ é um máximo relativo.
  2. Para $ x = 3 $:
    f''(x) = ddx(f'(x)) = ddx(x^2 - 5x + 6) = 2x - 5
    Como $ f’’(3) > 0 $, a concavidade é para cima e, portanto, $ x = 3 $ é um mínimo relativo.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{5x^{2}}{2} + 6x $ possui um máximo relativo em $ x = 2 $ e um mínimo relativo em $ x = 3 $.

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