Encontre os intervalos em que a função abaixo é crescente e os intervalos em que ela é decrescente.
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Passo 1
Beleza, vamos analisar a função $ f(x) = e{2x{3} - 12x^{2}} $. Nosso objetivo aqui é descobrir em quais intervalos essa função está aumentando (crescente) e em quais está diminuindo (decrescente). Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta em relação ao aumento ou diminuição.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. Lembrando que a derivada da função exponencial $ e^{g(x)} $ é $ e^{g(x)} \cdot g’(x) $. Aqui, $ g(x) = 2x^{3} - 12x^{2} $.
Passo 3
Calculando $ g’(x) $:
Passo 4
Agora, aplicando a regra da cadeia para encontrar $ f’(x) $:
Podemos simplificar extraindo um fator comum:
Passo 5
Para determinar onde a função é crescente ou decrescente, analisamos o sinal da derivada $ f’(x) $. Sabemos que:
- Se $ f’(x) > 0 $, a função está crescente.
- Se $ f’(x) < 0 $, a função está decrescente.
Como $ e{2x{3} - 12x^{2}} $ é sempre positivo (exponencial nunca é zero ou negativo), o sinal de $ f’(x) $ depende apenas do termo $ 6x (x - 4) $.
Passo 6
Vamos analisar o sinal de $ 6x (x - 4) $:
- Quando $ x < 0 $:
- $ x $ é negativo
- $ x - 4 $ é negativo
- Produto: positivo
- Quando $ 0 < x < 4 $:
- $ x $ é positivo
- $ x - 4 $ é negativo
- Produto: negativo
- Quando $ x > 4 $:
- $ x $ é positivo
- $ x - 4 $ é positivo
- Produto: positivo
Passo 7
Resumindo:
- Para $ x < 0 $: $ f’(x) > 0 $ → função crescente
- Para $ 0 < x < 4 $: $ f’(x) < 0 $ → função decrescente
- Para $ x > 4 $: $ f’(x) > 0 $ → função crescente
Resposta
A função $ f(x) = e{2x{3} - 12x^{2}} $ é crescente nos intervalos $ (-\infty, 0) $ e $ (4, +\infty) $ e decrescente no intervalo $ (0, 4) $.