Encontre os intervalos em que a função abaixo é crescente e os intervalos em que ela é decrescente.
f(x)=e^2 x^3-12 x^2.

Passo 1

Beleza, vamos analisar a função $ f(x) = e{2x{3} - 12x^{2}} $. Nosso objetivo aqui é descobrir em quais intervalos essa função está aumentando (crescente) e em quais está diminuindo (decrescente). Para isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a entender como a função se comporta em relação ao aumento ou diminuição.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. Lembrando que a derivada da função exponencial $ e^{g(x)} $ é $ e^{g(x)} \cdot g’(x) $. Aqui, $ g(x) = 2x^{3} - 12x^{2} $.

Passo 3

Calculando $ g’(x) $:
g'(x)

Passo 4

Agora, aplicando a regra da cadeia para encontrar $ f’(x) $:
f'(x)
Podemos simplificar extraindo um fator comum:
f'(x) = e^2x^3 - 12x^2 cdot (6x^2 - 24x)

Passo 5

Para determinar onde a função é crescente ou decrescente, analisamos o sinal da derivada $ f’(x) $. Sabemos que:
  • Se $ f’(x) > 0 $, a função está crescente.
  • Se $ f’(x) < 0 $, a função está decrescente.
Como $ e{2x{3} - 12x^{2}} $ é sempre positivo (exponencial nunca é zero ou negativo), o sinal de $ f’(x) $ depende apenas do termo $ 6x (x - 4) $.

Passo 6

Vamos analisar o sinal de $ 6x (x - 4) $:
  • Quando $ x < 0 $:
    • $ x $ é negativo
    • $ x - 4 $ é negativo
    • Produto: positivo
  • Quando $ 0 < x < 4 $:
    • $ x $ é positivo
    • $ x - 4 $ é negativo
    • Produto: negativo
  • Quando $ x > 4 $:
    • $ x $ é positivo
    • $ x - 4 $ é positivo
    • Produto: positivo

Passo 7

Resumindo:
  • Para $ x < 0 $: $ f’(x) > 0 $ → função crescente
  • Para $ 0 < x < 4 $: $ f’(x) < 0 $ → função decrescente
  • Para $ x > 4 $: $ f’(x) > 0 $ → função crescente

Resposta

A função $ f(x) = e{2x{3} - 12x^{2}} $ é crescente nos intervalos $ (-\infty, 0) $ e $ (4, +\infty) $ e decrescente no intervalo $ (0, 4) $.

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