Encontre as soluções da equação
.
(Resp:
)
(Resp:
Passo 1
A equação é
$$
x = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + x}}}$$
que é um problema de equações com radicais. Para resolver, vamos precisar usar a propriedade de que toda raiz quadrada é não negativa e, para eliminar cada raiz, elevamos a equação ao quadrado, sempre observando o domínio.
que é um problema de equações com radicais. Para resolver, vamos precisar usar a propriedade de que toda raiz quadrada é não negativa e, para eliminar cada raiz, elevamos a equação ao quadrado, sempre observando o domínio.
Passo 2
Para que todas as raízes façam sentido, precisamos ter os radicandos não negativos. Da raiz mais interna temos
Além disso, o lado direito da equação é uma raiz, logo não negativo, e o lado esquerdo é
. Portanto
No fim, o domínio válido é
Passo 3
Começamos elevando ambos os lados da equação original ao quadrado para eliminar a raiz mais externa:
Em seguida isolamos a raiz que resta:
Passo 4
Elevamos ao quadrado novamente para eliminar a próxima raiz:
Isolamos a última raiz:
Passo 5
Elevamos ao quadrado pela terceira vez:
Observando que
até chegar no polinômio
Passo 6
Sabendo que o polinômio acima admite como fator
, suas raízes são
Como só aceitamos
e precisamos checar na equação original (evitando soluções extranhas de quando levantamos ao quadrado), ficamos com
Resposta
x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}