Encontre as soluções da equação x=raiz1+raiz1+raiz1+x.
(Resp: x=1+raiz52 )

Passo 1

A equação é
$$
x = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + x}}}$$
que é um problema de equações com radicais. Para resolver, vamos precisar usar a propriedade de que toda raiz quadrada é não negativa e, para eliminar cada raiz, elevamos a equação ao quadrado, sempre observando o domínio.

Passo 2

Para que todas as raízes façam sentido, precisamos ter os radicandos não negativos. Da raiz mais interna temos
1 + x >= 0 implies x >= -1
Além disso, o lado direito da equação é uma raiz, logo não negativo, e o lado esquerdo é x. Portanto
x >= 0
No fim, o domínio válido é
x >= 0

Passo 3

Começamos elevando ambos os lados da equação original ao quadrado para eliminar a raiz mais externa:
x^2 = 1 + raiz1 + raiz1 + x
Em seguida isolamos a raiz que resta:
raiz1 + raiz1 + x = x^2 - 1

Passo 4

Elevamos ao quadrado novamente para eliminar a próxima raiz:
(x^2 - 1)^2 = 1 + raiz1 + x
Isolamos a última raiz:
raiz1 + x = (x^2 - 1)^2 - 1

Passo 5

Elevamos ao quadrado pela terceira vez:
l((x^2 - 1)^2 - 1r)^2 = 1 + x
Observando que
(x^2 - 1)^2 - 1 = x^4 - 2x^2,
até chegar no polinômio
x^8 - 4x^6 + 4x^4 - x - 1 = 0

Passo 6

Sabendo que o polinômio acima admite como fator x^2 - x - 1, suas raízes são
x = 1 pm raiz52
Como só aceitamos x>=0 e precisamos checar na equação original (evitando soluções extranhas de quando levantamos ao quadrado), ficamos com
x = 1 + raiz52

Resposta

x = \frac{1+\sqrt{5}}{2}

Exercícios relacionados