a. $(1,5 ponto) Calcule, usando a definição, a derivada da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza! A gente vai calcular a derivada da função $ g(t) = \frac{4}{3 - t^{2}} $ no ponto $ t = -1 $ usando a definição de derivada. Basicamente, vamos descobrir a taxa de variação dessa função naquele ponto específico. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a definição básica de derivada, que envolve limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função $ g(t) $ em um ponto $ t = a $. A derivada é dada por:
Aqui, $ h $ é um valor muito pequeno que se aproxima de zero.
Passo 3
No nosso caso, $ a = -1 $. Então, vamos substituir na fórmula:
Agora, precisamos calcular $ g(-1 + h) $ e $ g(-1) $.
Passo 4
Vamos calcular $ g(-1) $:
Agora, $ g(-1 + h) $:
Passo 5
Substituindo $ g(-1 + h) $ e $ g(-1) $ na fórmula da derivada:
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
Então, a expressão da derivada fica:
Cancelando $ h $ no numerador e denominador:
Passo 6
Agora, podemos substituir $ h = 0 $ diretamente na expressão simplificada:
Resposta
A derivada da função $ g(t) = \frac{4}{3 - t^{2}} $ no ponto $ t = -1 $ é $ -2 $.