a. $(1,5 ponto) Calcule, usando a definição, a derivada da função (1,5 ponto) Calcu<=, usando a definição, a derivada da função no ponto no ponto .

Passo 1

Beleza! A gente vai calcular a derivada da função $ g(t) = \frac{4}{3 - t^{2}} $ no ponto $ t = -1 $ usando a definição de derivada. Basicamente, vamos descobrir a taxa de variação dessa função naquele ponto específico. Para isso, vamos precisar entender como aplicar a definição básica de derivada, que envolve limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função $ g(t) $ em um ponto $ t = a $. A derivada é dada por:
g(t)
Aqui, $ h $ é um valor muito pequeno que se aproxima de zero.

Passo 3

No nosso caso, $ a = -1 $. Então, vamos substituir na fórmula:
a = -1
Agora, precisamos calcular $ g(-1 + h) $ e $ g(-1) $.

Passo 4

Vamos calcular $ g(-1) $:
g(-1)
Agora, $ g(-1 + h) $:
g(-1) = 43 - (-1)^2 = 43 - 1 = 42 = 2

Passo 5

Substituindo $ g(-1 + h) $ e $ g(-1) $ na fórmula da derivada:
g(-1 + h)
Vamos simplificar a expressão dentro do limite:
g(-1)
Então, a expressão da derivada fica:
g'(-1) = limh to 0 42 + 2h - h^2 - 2h
Cancelando $ h $ no numerador e denominador:
42 + 2h - h^2 - 2 = 4 - 2(2 + 2h - h^2)2 + 2h - h^2 = 4 - 4 - 4h + 2h^22 + 2h - h^2 = -4h + 2h^22 + 2h - h^2

Passo 6

Agora, podemos substituir $ h = 0 $ diretamente na expressão simplificada:
h = 0

Resposta

A derivada da função $ g(t) = \frac{4}{3 - t^{2}} $ no ponto $ t = -1 $ é $ -2 $.

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