Usando regras de derivação calcule a derivada das seguintes funções:
(1,0 ponto) Q(t)=(t^6-2)^8-(9-t^3) raiz[4]t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas! A gente tem a função $ Q(t) = \left(t^{6} - 2\right)^{8} - \left(9 - t^{3}\right) \sqrt[4]{t} $. O conteúdo aqui envolve regras de derivação, como a regra do poder, regra da cadeia e regra do produto. Vamos precisar aplicar essas regras para encontrar a derivada de $ Q(t) $.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a parte $ \left(t^{6} - 2\right)^{8} $. Para isso, usamos a regra da cadeia, que é essencial quando temos uma função dentro de outra função. A regra da cadeia diz que a derivada de $ [f(t)]^n $ é $ n[f(t)]^{n-1} \cdot f’(t) $.
Aplicando isso aqui:
(t^6 - 2)^8
A derivada de $ t^{6} - 2 $ é $ 6t^{5} $, então:
[f(t)]^n

Passo 3

Agora vamos para a derivada da segunda parte: $ \left(9 - t^{3}\right) \sqrt[4]{t} $. Aqui, precisamos usar a regra do produto, pois temos duas funções multiplicando uma à outra.
A regra do produto diz que $ \frac{d}{dt}[f(t)g(t)] = f’(t)g(t) + f(t)g’(t) $.
Vamos identificar nossas funções:
  • $ f(t) = 9 - t^{3} $ e sua derivada $ f’(t) = -3t^{2} $.
  • $ g(t) = t^{1/4} $ (já que $ \sqrt[4]{t} = t^{1/4} $) e sua derivada $ g’(t) = \frac{1}{4} t^{-3/4} $.
Aplicando a regra do produto:
(9 - t^3) raiz[4]t
Simplificando:
ddt[f(t)g(t)] = f'(t)g(t) + f(t)g'(t)

Passo 4

Agora, juntando tudo, a derivada de $ Q(t) $ é a derivada da primeira parte menos a derivada da segunda parte:
Q(t)
Simplificando os sinais:
Q'(t) = 48 t^5 (t^6 - 2)^7 - (-3t^9/4 + 9 - t^34 t^-3/4)

Resposta

A derivada da função é:
Q'(t) = 48 t^5 (t^6 - 2)^7 + 3t^9/4 - 9 - t^34 t^-3/4

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