Determine f^(7)(0) para cada uma das funções do exercício 10) usando somente os coeficientes da séries lá determinadas.
f(x)=x e^x^2

Passo 1

Resumo do enunciado e estratégia: queremos encontrar f^(7)(0) para a função f(x)=x e^x^2. O conteúdo aqui é expansão em série de Taylor (Maclaurin) em torno de zero e vamos usar a série conhecida de e^x^2.

Passo 2

Expansão em série de e^x^2 e construção da série de f(x): sabemos que
e^x^2=sumk=0^inftyx^2kk!
Multiplicando por x, obtemos
f(x)=x e^x^2=sumk=0^inftyx^2k+1k!

Passo 3

Identificação dos coeficientes an: comparando com f(x)=sumn=0^infty an x^n, vemos que só aparecem termos ímpares. Para n=2k+1 temos
a2k+1=1k!,
e para n par, an=0.

Passo 4

Relação entre coeficientes e derivadas: na série de Taylor vale sempre
f^(n)(0)=n!,an

Passo 5

Cálculo de f^(7)(0): como 7=2k+1 implica k=3, temos a7=1/3! = 1/6. Logo
f^(7)(0)=7!cdot16=50406=840

Resposta

840

Exercícios relacionados