Esboce o gráfico no intervalo
das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico de f(x)=−sen(x+π/2)+1 no intervalo [−2π,2π]. O conteúdo é transformações de funções trigonométricas: translação horizontal, reflexão em y e translação vertical.
Passo 2
Começamos da função básica sen(x). Primeiro aplicamos a translação horizontal x→x+π/2, que desloca o gráfico de sen(x) π/2 unidades para a esquerda, gerando sen(x+π/2).
Em seguida, fazemos a reflexão vertical: multiplicamos por −1 e obtemos −sen(x+π/2). Por fim, transladamos verticalmente somando 1, resultando em f(x)=−sen(x+π/2)+1.
Em seguida, fazemos a reflexão vertical: multiplicamos por −1 e obtemos −sen(x+π/2). Por fim, transladamos verticalmente somando 1, resultando em f(x)=−sen(x+π/2)+1.
Passo 3
Para facilitar o esboço, usamos a identidade sen(x+π/2)=cos(x). Assim f(x)=−cos(x)+1. Essa função tem amplitude 1, período 2π e está deslocada para cima em 1 unidade.
Passo 4
Determinamos pontos-chave no intervalo [−2π,2π]:
x=−2π → f=−cos(−2π)+1=−1+1=0
x=−3π/2 → f=−cos(−3π/2)+1=−0+1=1
x=−π → f=−cos(−π)+1=−(−1)+1=2
x=−π/2 → f=−cos(−π/2)+1=−0+1=1
x=0 → f=−cos0+1=−1+1=0
x=π/2 → f=1
x=π → f=2
x=3π/2 → f=1
x=2π → f=0
x=−3π/2 → f=−cos(−3π/2)+1=−0+1=1
x=−π → f=−cos(−π)+1=−(−1)+1=2
x=−π/2 → f=−cos(−π/2)+1=−0+1=1
x=0 → f=−cos0+1=−1+1=0
x=π/2 → f=1
x=π → f=2
x=3π/2 → f=1
x=2π → f=0
Passo 5
Por fim, marcamos esses pontos no plano e ligamos com curvas suaves, obtendo uma onda que oscila entre y=0 e y=2, com máximos em x=−π,π e mínimos em x=−2π,0,2π.
Resposta
O gráfico de f(x)=−sen(x+π/2)+1 no intervalo [−2π,2π] é uma onda senoidal de amplitude 1 e período 2π, deslocada para cima em 1, equivalendo a f(x)=−cos(x)+1, com máximos f=2 em x=−π,π e mínimos f=0 em x=−2π,0,2π.