Determine se F é um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = nabla f.
F(x, y) = (2x - 3y)i + (2y - 3x)j

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir se o campo vetorial é conservativo. Se for, temos que achar uma função f tal que . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente relacionados a campos conservativos e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um campo vetorial conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função escalar f cuja derivada gradiente é igual ao campo vetorial. Uma maneira fácil de verificar se um campo é conservativo é checar se a sua “giro” (chamado de rotacional ou curl) é zero.

Passo 3

Então, vamos calcular o rotacional de F. No caso de campos bidimensionais, o rotacional é dado por:
Onde e .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 5

Agora, substituímos na expressão do rotacional:
Como o rotacional é zero, isso indica que o campo F é conservativo.

Passo 6

Agora que sabemos que o campo é conservativo, precisamos encontrar a função potencial f tal que . Isso significa que:
Vamos integrar a primeira equação em relação a x:
Aqui, g(y) é uma função que depende apenas de y.

Passo 7

Agora, derivamos f(x, y) em relação a y e igualamos à segunda equação:
Comparando os termos, temos:
Integrando em relação a y:
Onde C é uma constante.

Passo 8

Substituindo g(y) de volta na expressão de f(x, y):
Podemos ignorar a constante C se quisermos apenas uma função potencial.

Resposta

O campo vetorial F é conservativo e uma função f que satisfaz é:

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