Determine se f é contínua em x=0. Se não for, indique o tipo de descontinuidade.
f(x)=x e^2 xraizx

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta se a função $ f(x) = \frac{x e^{2x}}{\sqrt{x}} $ é contínua em $ x = 0 $. A gente vai usar conceitos de continuidade de funções, que é parte do cálculo. Pra resolver isso, precisamos analisar os limites da função e ver se ela está bem comportada nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f $ é contínua em $ x = a $ se três condições forem satisfeitas:
  1. $ f(a) $ está definido.
  2. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
  3. O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ f(a) $.
Então, vamos verificar cada uma dessas condições para $ f(x) $ em $ x = 0 $.

Passo 3

Primeiro, vamos ver se $ f(0) $ está definido. Substituindo $ x = 0 $ na função:
f(0)
Isso é uma forma indeterminada, ou seja, $ f(0) $ não está definido. Portanto, a primeira condição de continuidade já não é atendida, mas vamos continuar para entender melhor a situação.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0. A função é:
f(x)
Simplificando, temos:
x
Agora, vamos calcular:
f(x) = x e^2xraizx = x^1 cdot e^2x cdot x^-1/2 = e^2x cdot x^1 - 1/2 = e^2x cdot x^1/2
Sabemos que $ e^{2x} $ se aproxima de $ e^{0} = 1 $ quando $ x $ aproxima de 0, e $ \sqrt{x} $ se aproxima de 0. Então:
f(x) = e^2x cdot raizx
Então, o limite existe e é igual a 0.

Passo 5

A última coisa que precisaríamos verificar seria a terceira condição, que é se o limite é igual a $ f(0) $. Mas como vimos no Passo 3, $ f(0) $ não está definido. Portanto, a função não satisfaz todas as condições de continuidade em $ x = 0 $.

Resposta

A função $ f(x) = \frac{x e^{2x}}{\sqrt{x}} $ não é contínua em $ x = 0 $ porque $ f(0) $ não está definido, mesmo que o limite quando $ x $ se aproxima de 0 seja 0. Essa descontinuidade é do tipo descontinuidade removível, já que o limite existe mas a função não está definida nesse ponto.

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