Determine se
é contínua em
. Se não for, indique o tipo de descontinuidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pergunta se a função $ f(x) = \frac{x e^{2x}}{\sqrt{x}} $ é contínua em $ x = 0 $. A gente vai usar conceitos de continuidade de funções, que é parte do cálculo. Pra resolver isso, precisamos analisar os limites da função e ver se ela está bem comportada nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função $ f $ é contínua em $ x = a $ se três condições forem satisfeitas:
- $ f(a) $ está definido.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ existe.
- O limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ a $ é igual a $ f(a) $.
Então, vamos verificar cada uma dessas condições para $ f(x) $ em $ x = 0 $.
Passo 3
Primeiro, vamos ver se $ f(0) $ está definido. Substituindo $ x = 0 $ na função:
Isso é uma forma indeterminada, ou seja, $ f(0) $ não está definido. Portanto, a primeira condição de continuidade já não é atendida, mas vamos continuar para entender melhor a situação.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de $ f(x) $ quando $ x $ se aproxima de 0. A função é:
Simplificando, temos:
Agora, vamos calcular:
Sabemos que $ e^{2x} $ se aproxima de $ e^{0} = 1 $ quando $ x $ aproxima de 0, e $ \sqrt{x} $ se aproxima de 0. Então:
Então, o limite existe e é igual a 0.
Passo 5
A última coisa que precisaríamos verificar seria a terceira condição, que é se o limite é igual a $ f(0) $. Mas como vimos no Passo 3, $ f(0) $ não está definido. Portanto, a função não satisfaz todas as condições de continuidade em $ x = 0 $.
Resposta
A função $ f(x) = \frac{x e^{2x}}{\sqrt{x}} $ não é contínua em $ x = 0 $ porque $ f(0) $ não está definido, mesmo que o limite quando $ x $ se aproxima de 0 seja 0. Essa descontinuidade é do tipo descontinuidade removível, já que o limite existe mas a função não está definida nesse ponto.